Développement : Etude des polynômes alternés

Détails/Enoncé :

Soit A un anneau intègre, et $n \geq 1$.
On appelle polynômes alternés les éléments de $A[X_1,\dot,X_n]^{A_n}$.
Soient $V_n := \Pi_{i < j } X_i-X_j$, $U_n := \Pi_{i < j } X_i+X_j$.
Le polynôme $W_n := \frac{V_n+U_n}{2}$ est à coefficients entiers, donc vit dans $A[X_1,\dot,X_n]$.
Pour tout polynôme alterné P, il existe des polynômes symétriques $Q,R$ tels que $P = Q + W_n.R$.

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    Ref : Polycopié de Matthieu Romagny. (Le cas plus général y est traité, mais cela demande de montrer que certains polynômes sont réguliers pour pouvoir effectuer des divisions).
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Références utilisées dans les versions de ce développement :