Leçon 144 * : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

(2018) 144

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Dans cette leçon on peut présenter des méthodes de résolution, de la théorie des corps, des notions de topologie (continuité des racines) ou même des formes quadratiques. Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d’Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). Il est apprécié de faire apparaître le lien solide entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices ; l’étude des valeurs propres de la matrice compagnon d’un polynôme permet d’entretenir ce lien. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois ou s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin.

(2016 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Dans cette leçon on peut présenter des méthodes de résolutions, de la théorie des corps, des notions de topologie (continuité des racines) ou même des formes quadratiques. Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d’Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). Notons le lien solide entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices ; les valeurs propres de la matrice compagnon d’un polynôme permet d’entretenir ce lien. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois ou s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin.
(2015 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Il s'agit d'une leçon au spectre assez vaste. On peut y traiter de méthodes de résolutions, de théorie des corps (voire théorie de Galois si affinités), de topologie (continuité des racines) ou même de formes quadratiques. Il peut être pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d'Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc. ). On pourra parler des applications de la réduction au calcul d'approximations de racines. Notons le lien solide entre la recherche des racines d'un polynôme et la réduction des matrices. Les valeurs propres de la matrice compagnon d'un polynôme permet d'entretenir ce lien. Les problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin, sont tout à fait appropriés à ce contexte.
(2014 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Il s'agit d'une leçon au spectre assez vaste. On peut y traiter de méthodes de résolutions, de théorie des corps (voire théorie de Galois si affinités), de topologie (continuité des racines) ou même de formes quadratiques. Il peut être pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d'Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). On pourra parler des applications de la réduction au calcul d'approximations de racines.

Développements :

Plans/remarques :

2019 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2018 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2017 : Leçon 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2016 : Leçon 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2015 : Leçon 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité [no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Développement: On m'a demandé de justifier l'initialisation d'une récurrence et pourquoi fermé + borné => compact en dim finie

    Plan : Je n'avais pas top insisté dans mon plan sur la partie "fonctions symétriques élémentaires" donc ils ont fait un gros focus dessus durant l'entretien.
    Questions :
    - pourquoi parle-t-on de fonctions "symétriques"?
    - résolution d'un système avec 3 inconnus où il fallait utiliser les fonctions symétriques élémentaires (sans me le dire évidemment ;) )
    - trouver les racines d'un polynôme de degré 3 sans racine évidente
    - f endomorphisme de E, un R-ev, tel que f²=Id. Montrer que E est de dim paire

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très souriants dès le début, très encourageant et bienveillants tout du long.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation : le président du jury est présent et très rassurant lors de notre premier tirage, la salle des tirages est séparée de la salle de préparation, personne ne vérifie si nos livres sont annotés, on se ballade comme on veut dans les couloirs à la recherche des livres qu'on veut (et il y en a beaucoup !!)
    Jury : on nous prend nos leçons et tous nos brouillons à la fin de l'épreuve pour les jeter

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Suites de Sturm

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On me demande de tester l'algorithme de Sturm sur un polynôme à 2 inconnues, de degré 3. Je fais toutes les divisions euclidiennes au tableau le jury avait l'air de les faire aussi sur un papier.. A la fin personne n'a trouvé le même résultat --> on passe à autre chose !
    Petite remarque du jury sur le fait que les symétries vectorielles ne sont pas forcément diagonalisables en caractéristique 2.
    On me demande à quelle moment l'hypothèse de la caractéristique 0 intervient lors de la preuve de la caractérisation d'une racine d'ordre k avec le polynôme dérivé. Je galère comme un naze, ils m'aident beaucoup.
    Ils me demandent un contre ex si on est en carac p : il était dans mon plan.
    Enfin on me pose un exo de dénombrement d'un ensemble ( qui était l'ensemble des zéros de 3 polynomes à 2 indéterminés je crois) on me fait poser une application chelou et je devais montrer qu'en fait l'ensemble c'était l'image réciproque de 0 par cette application. Ca a dérivé sur les corps finis j'ai pas tout suivi...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Extraordinairement gentil et aidant alors que j'étais trop naze.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment, il y avait une erreur au tout début de mon développement que je n'avais jamais remarqué donc ça met pas à l'aise.
    J'ai beaucoup hésité et j'ai l'impression que le jury m'a pas mal aidé. Je ne m'attendais pas à avoir une telle note avec ce que j'ai fait. Comme quoi, ne vous découragez pas même si vous pensez avoir râté !!!!!!

  • Note obtenue :

    14