Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire tel que $P(0) \not=0$. Si toutes les racines de $P$ sont de module inférieur à $1$, alors ce sont des racines de l'unité.
(Cette rédaction n'est pas satisfaisante, je réécrirai le dév dès que possible)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
J'ai rajouté une application pour que ça tienne en 15 minutes. Cependant, avec l'application, le développement devient un peu long et il faut se dépêcher un peu. Tout dépend de si vous écrivez plutôt lentement ou pas...
Désolé, le PDF est un peu coupé par endroits à cause du scanner, normalement tout est dans les références.
Cela peut être pas mal de savoir "étendre" un peu le résultat de l'application : l'application est-elle surjective ? Que se passe-t-il pour d'autres nombres premiers que 3 ?
Il faut aussi être au point sur les polynômes symétriques et le théorème de structure (c'est le point-clé de la démonstration du théorème de Kronecker).
Je ne suis pas du tout d'accord avec le recasage 4 étoiles dans la 105... Il ne faut pas forcer non plus...
Un de mes développements préférés ! Il est très bien en terme de longueur, en tout cas pour ceux qui aiment expliquer les choses un peu correctement. Pas d'un niveau vertigineux, mais très agréable. Pour l'étape 2, il y a plein de manières de faire, celle que j'ai présentée ici est la plus 'simple' dans le sens où elle ne demande pas de théorèmes difficiles ; mention spéciale à la preuve utilisant les polynômes symétriques élémentaires : elle permet je pense un recasage honnête dans la leçon sur les groupes symétriques, mais la preuve du théorème central sur les polynômes symétriques est imbuvable. Pourtant, utiliser un théorème dont on ne maîtrise pas la preuve le jour de l'oral me semble être un pari fort risqué... C'est ce qui a fait que je suis parti sur la preuve avec les polynômes caractéristiques. Côté recasage:
Racines de l'unité
Racines d'un polynôme
Groupe symétrique (dans la version adaptée, pas présentée ici)
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
Pour les leçons : 102, 144.
Je n'utilise pas le théorème de décomposition des polynômes symétriques (car je veux éviter les questions dessus), seulement les relations coefficients-racines. A la place j'utilise les matrices compagnon.
Attention, ce développement est utilisé dans des leçons de votre couplage. Voulez-vous quand même le supprimer de votre couplage ?
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