Leçon 105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

(2015) 105
(2017) 105

Dernier rapport du Jury :

(2016 : 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.) Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler des déterminants, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement ou aux représentations des groupes des permutations.

(2015 : 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.) Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d'orbites et d'actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, et, pour les candidats confirmés, dominer les problèmes de dénombrement qui en résultent. Des dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. Par ailleurs, un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $\mathfrak{A}_5$ devrait savoir donner des applications à la simplicité d'un groupe. L'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement. Comme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes d'un groupe, par exemple, à ceux du groupe symétrique. On note que les candidats connaissent en général les applications du groupe symétrique aux polyèdres réguliers de l'espace.
(2014 : 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.) Il faut relier rigoureusement les notions d'orbites et d'action de groupe. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Des dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. Par ailleurs un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $A_5$ devrait aussi savoir montrer que $A_5$ est simple. L'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement. Comme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes du groupe symétrique. Les applications du groupe symétrique ne concernent pas seulement les polyèdres réguliers. Il faut par exemple savoir faire le lien avec les actions de groupe sur un ensemble fini. Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles.

Développements :

Plans/remarques :

2016 : Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.


2015 : Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury : Est-ce que la représentation standard est toujours utile ?
    Votre serviteur : Oui, mais autant on peut trouver la table de $\mathfrak{S}_4$, autant c'est moins évident pour les autres $\mathfrak{S}_n$. D'ailleurs, peut-être que ça ne donne qu'un caractère en plus parfois ?* [Regarde pour la classe des transpositions.] Ah, pour $n\neq 3$ ça donne bien toujours deux représentations. Et pour $n=3$ [Calculs.] le caractère tordu est le même.
    * Ça donne toujours un caractère en plus, et parfois la torsion par la signature en donne un deuxième gratuit.

    J (c'est le vieux qui baragouine) : Est-qu'il y a un élément d'ordre 15 dans $\mathfrak{S}_5$ ?
    VS : Non parce que…
    J : Regardez le cardinal de $\mathfrak{S}_5$.
    VS, un peu agacé : C'est 120, donc ça ne nous aide pas. Par contre, on peut conclure parce que si on avait un élément d'ordre 15, blablabla, d'après la décomposition en produit de cycles, blablabla.
    J : Alors quel est le premier $\mathfrak{S}_n$ pour lequel on a un élément d'ordre 15 ?
    VS : $\mathfrak{S}_8$ pour les mêmes raisons.

    J : Si on regarde les isométries du carrés comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$, qu'est-ce qu'on trouve ?
    VS : Alors il y a telle symétrie qui donne telle permutation, telle rotation qui donne telle permutation…
    J : Qu'est-ce que vous êtes en train de construire comme groupe ?
    VS : Le groupe diédral $D_4$ ?
    J : Et est-ce qu'on peut généraliser le résultat ?
    VS : oui, $D_n$ est toujours inclus dans $\mathfrak{S}_n$.

    J : Que peut-on dire des représentations des groupes de cardinal $p^3$ ?
    VS (je fais la version sans l'hésitation, ça a pris un certain temps) : Soit le groupe est commutatif, et on connait ses représentations, soit $Z(G)$ est de cardinal $p$ (centre non trivial et quotient non cyclique). Ensuite, on peut regarder les représentations de dimension 1, qui se factorisent par le groupe dérivé. Je n'ai pas été franchement plus loin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt faisable, pas facile mais pas franchement dur non plus. Les gens ont été plutôt cools, sauf un vieux qui marmonnait et qui ne faisait aucun effort d'articulation. Mais les autres lui demandaient de se taire, donc ça allait.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas du tout de questions sur le plan, ça m'a étonné.

  • Note obtenue :

    17.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :