Développement : Automorphismes de Sn

Détails/Enoncé :

Pour tout $n \not=6$, les automorphismes de $\mathfrak{S}_n$ sont intérieurs.

C'est-à-dire que pour tout automorphisme $f$ de $\mathfrak{S}_n$, il existe $\sigma_0 \in \mathfrak{S}_n$ tel que pour toute permutation $\sigma$,

$$ f(\sigma) = \sigma_0 \sigma \sigma_0^{-1} $$

Recasages pour l'année 2025 :

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    D'après moi pour les leçons : 101, 104, 105, 108

    Connaître le cas n = 6 où Aut(S_n) / Int(S_n) ~ Z/2Z

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    CV
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    Le Perrin fait ça très bien. Je donne ici une manière supplémentaire de caractériser les transpositions dans S_n, pour $n \neq 4,6$. Cette manière me semble plus "élémentaire" que celles du Perrin (mais ça dépend sans doute des goûts).
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    Recasages : 105,104,101,190,103,108

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6&p=48a6ceb652824c818e6f7e85f2aa8202&pm=s

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse :https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    C'est une version de ce développement où le seul dénombrement qu'on fait, c'est dire que (Z/2Z)^k est de cardinal 2^k, et donc

    MA VERSION NE CONVIENT PAS POUR LA LECON 190 !!

    On démontre toujours la proposition sur l'automorphisme qui transforme les transpositions en transposition.

    Je pense que c'est un peu plus long et technique que ce qui est fait dans le Perrin, mais si vous n'aimez pas la combinatoire, c'est fait pour vous : on cherche à déterminer des propriétés sur la structure de deux stabilisateurs.

    C'est pour ça que je pense que CETTE VERSION convient pour la leçon 103 : conjugaison dans un groupe.
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    Le Perrin dit que "c'est facile le dénombrement du centralisateur" il ment ! Il faut bien le détailler si on veut pas se perdre ! Sinon, si vous savez comment on construit un automorphisme de $\mathfrak{S}_6$ qui ne soit pas intérieur, vous aurez tout gagné pour ce développement !
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    Le Perrin est vraiment elliptique sur les parties combinatoires que j'ai donc détaillé, mais les preuves sont de mon cru et elles ne sont sans doute pas minimales. Il y a aussi quelques coquilles dans le Perrin que j'ai corrigé mais d'autres ont pu s'y glisser.
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 439 versions au total)
RMS 128-3 (2017-2018), RMS (utilisée dans 1 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 152 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 144 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)