Système de Lotka Volterra

Développement long. J'ai écrit beaucoup de détail pour que le lecteur comprenne bien ce qu'il se passe, mais il y a des moment où on peut se passer d'écrire (comme le calcul de $\frac{d}{dt}H$ ou les arguments à la fin). Je conseille de faire quelques dessins, et de ne pas hésiter à les manipuler.

Je me suis un peu éloignée de ce qui est fait dans le FGN, notamment au moment de prouver que $I=\mathbb R$, car c'est trop long dans le FGN alors qu'une autre preuve tient en trois mots dès qu'on a le caractère borné de la solution maximale : lemme des bouts.

Dans tout le développement, il y a deux arguments de monotonie (monotone borné donc convergeant et monotone donc injectif), cela me semble un peu léger pour justifier les 5 étoiles dans la leçon 229.

Inégalité de Hadamard (par le th des extrema liés)

Tel que je l'ai préparé, ce développement entre aussi dans la leçon 159 Formes linéaires et dualité (confirmé par un enseignant), mais pas dans la leçon 214 TIL, TFI.

Je conseille de connaître au moins une idée de démonstration du résultat admis sur l'espace tangent parce que c'est ça qui fait vraiment marcher le preuve des extrêma liés.

Je pense avoir fait quelque chose d'un peu plus efficace en temps que ce que fait Rouvière en traitant le cas du maximum et du minimum en même temps.

Théorème de Sturm

Je démontre un énoncé un peu plus général que ce qui est fait dans le FGN qui coute pas beaucoup plus cher. Il y a énormément d'explications dans mon pdf, mais c'est pour que le lecteur comprenne ce qu'il se passe, n'écrivez pas tout au tableau devant le jury !

La répartition du temps est facile à retenir : le développement est découpé en trois résultats, vous pouvez passer à peu près cinq minutes sur chacun d'entre eux.

Ce développement peut aussi apparaître dans la leçon 228 : continuité, dérivabilité, en tant qu'application du TVI.

Automorphismes de Sn

C'est une version de ce développement où le seul dénombrement qu'on fait, c'est dire que (Z/2Z)^k est de cardinal 2^k, et donc

MA VERSION NE CONVIENT PAS POUR LA LECON 190 !!

On démontre toujours la proposition sur l'automorphisme qui transforme les transpositions en transposition.

Je pense que c'est un peu plus long et technique que ce qui est fait dans le Perrin, mais si vous n'aimez pas la combinatoire, c'est fait pour vous : on cherche à déterminer des propriétés sur la structure de deux stabilisateurs.

C'est pour ça que je pense que CETTE VERSION convient pour la leçon 103 : conjugaison dans un groupe.

Approximation diophantienne

C'est en quelque sorte un prolongement du développement sur les sous-goupes additifs de $\mathbb R$ qui lui aussi ne rentre que dans la leçon sur les suites. Je conseille toutefois de connaître une idée de démonstration.

Le développement en lui-même n'est pas extrêmement difficile, c'est une succession d'étapes et de raisonnements assez élémentaires.

Théorème de Brauer

On montre la caractérisation des classes de conjugaison dans $S_n$, puis on l'applique pour démontrer le théorème de Brauer.

C'est une version qui fait intervenir une égalité entre deux polynômes caractéristiques et une étude de multiplicité des racines pour aboutir à la conclusion. On fait plus que toucher de l'herbe, on se roule dedans.

N'allez pas trop vite lors de l'oral, sinon le développement risque d'être trop court !

Le Fresnel-Matignon fait dans le même exercice la démonstration du théorème de Brauer dans le cas $\mathbb K$ de caractéristique quelconque, et on peut voir que c'est beaucoup BEAUCOUP plus dur.