Développement : Système de Lotka Volterra

Détails/Enoncé :

Dans ce développement, on étudie qualitativement les solutions maximales d'un système différentiel non linéaire. On prédit notamment l'allure ainsi que son caractère périodique.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Démonstration du livre "équations différentielles" de Florent Berthelin à ma sauce.

    Le développement est moins long qu'il n'y parait, plusieurs arguments peuvent peut-être être évoqués à l'oral. S'il vous reste du temps vous pouvez calculer la dérivée de $H$ le long d'une solution pour montrer que c'est bien une intégrale première (Berthelin explique comment faire).

    Je dessine plusieurs fois le quart de plan $(\mathbb{R}^*_+)^2$ pour expliquer ce qu'on fait: il est très important que vous dessiniez vous aussi ce qu'on démontre sur un même graphe tout au long du développement!!

    (... et encore une fois cf le document d'Ewna qui l'a mieux fait, merci à lui)
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    Recasages: 220, 267

    Page 204 (mes arguments sont un peu différents et un peu plus détaillés)


    Mon site: https://esuong-maths.fr
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    Développement long. J'ai écrit beaucoup de détail pour que le lecteur comprenne bien ce qu'il se passe, mais il y a des moment où on peut se passer d'écrire (comme le calcul de $\frac{d}{dt}H$ ou les arguments à la fin). Je conseille de faire quelques dessins, et de ne pas hésiter à les manipuler.

    Je me suis un peu éloignée de ce qui est fait dans le FGN, notamment au moment de prouver que $I=\mathbb R$, car c'est trop long dans le FGN alors qu'une autre preuve tient en trois mots dès qu'on a le caractère borné de la solution maximale : lemme des bouts.

    Dans tout le développement, il y a deux arguments de monotonie (monotone borné donc convergeant et monotone donc injectif), cela me semble un peu léger pour justifier les 5 étoiles dans la leçon 229.
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    Tout le raisonnement par l'absurde à la fin il faut l'expliquer à la main et à l'aide du dessin sinon il est beaucoup trop long. Si c'était à refaire je ferrais peut-être un autre dev.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 67 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 82 versions au total)