Oraux X-ENS Analyse 4

Francinou, Gianella, Nicolas

Utilisée dans les 17 développements suivants :

Équation de la chaleur sur le cercle
Théorème du relèvement
Chemin optique et calcul des variations
Chemin au dessus d'une courbe concave
Étude qualitative de x' = x^2 - t
Théorème de Sturm
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
Géodésiques du demi plan de Poincarré
Algorithme du gradient à pas optimal
Système proie-prédateur
Stabilité système à coefficients constants
Résolution de l'équation fonctionnelle $f' = f^{-1}$
Système de Lotka Volterra
Minimisation d'une fonctionnelle quadratique
Equation de la chaleur
Equation de Bessel
Zéros de la fonction de Bessel

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
220 (2025) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
267 (2023) Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Utilisée dans les 37 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Développement long. J'ai écrit beaucoup de détail pour que le lecteur comprenne bien ce qu'il se passe, mais il y a des moment où on peut se passer d'écrire (comme le calcul de $\frac{d}{dt}H$ ou les arguments à la fin). Je conseille de faire quelques dessins, et de ne pas hésiter à les manipuler.

    Je me suis un peu éloignée de ce qui est fait dans le FGN, notamment au moment de prouver que $I=\mathbb R$, car c'est trop long dans le FGN alors qu'une autre preuve tient en trois mots dès qu'on a le caractère borné de la solution maximale : lemme des bouts.

    Dans tout le développement, il y a deux arguments de monotonie (monotone borné donc convergeant et monotone donc injectif), cela me semble un peu léger pour justifier les 5 étoiles dans la leçon 229.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Je démontre un énoncé un peu plus général que ce qui est fait dans le FGN qui coute pas beaucoup plus cher. Il y a énormément d'explications dans mon pdf, mais c'est pour que le lecteur comprenne ce qu'il se passe, n'écrivez pas tout au tableau devant le jury !

    La répartition du temps est facile à retenir : le développement est découpé en trois résultats, vous pouvez passer à peu près cinq minutes sur chacun d'entre eux.

    Ce développement peut aussi apparaître dans la leçon 228 : continuité, dérivabilité, en tant qu'application du TVI.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement demande de bien le travailler pour savoir très bien justifier chaque interversion, chaque étape. Il est aussi très très long, au début je ne faisais que la partie Analyse (c'est suffisant je pense), et puis avec le temps et l'entraînement, j'arrivais à faire tenir aussi la Synthèse dans les 15 minutes.
    J'ai parfois rajouté des remarques qui ne sont pas dans la référence pour justifier les interversions. Il faut aussi bien savoir justifier pourquoi on a le droit d'écrire "$f$ égale à sa série de Fourier".
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Développement que je trouvais assez joli. Il ne faut pas perdre de temps sur les calculs au début, mais ça se fait pas mal dans les temps. Il faut quand même bien le connaître. A mon avis, il est bon de se renseigner sur les applications des zéros de la fonction de Bessel, surtout pour agrémenter un peu la leçon sur les fonctions spéciales.
    En fait, on peut montrer des informations plus précises sur les zéros de la fonction $J$: un théorème de Sturm un peu plus fin permet de montrer que si on note ${(u_k)}_{k}$ la suite des zéros de la fonction $J$, alors $u_{k+1}-u_{k}$ tend vers $\pi$. Cela fait sens avec la fin du développement, je vous laisse découvrir ;)

    Pour les références, le FGN Analyse 4 fait la résolution de l'équation, et je connaissais le reste par coeur. Mais je pense que la preuve du théorème de Sturm doit se trouver (peut-être que le Berthelin le fait, à vérifier).

    Côté recasages à mon avis:
    EDO linéaires
    Exemples d'illustration de la théorie des EDO
    Séries entières
    Fonctions usuelles et spéciales

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
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Utilisée dans les 28 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon, bien qu'elle porte sur les équa diff, est beaucoup plus commode que la précédente. On trouve quasiment tout dans le Berthelin ! Cependant, attention avec ce livre, il prend parfois des chemins compliqués en voulant éviter certaines choses : par exemple, pour obtenir les résultats de la partie I-3), il suffit de faire Dunford sur la matrice compagnon obtenue !
    Je l'ai présentée devant la classe, et après discussion avec le prof et la classe, j'ai changé mon second développement au profit d'équation de Bessel (voir la 220). On peut cependant laisser l'équation de la chaleur dans le plan car le rapport du jury précise qu'on peut traiter "certaines EDP linéaires".
    Mon plan n'est peut-être pas optimal, j'ai choisi de le faire comme ça pour suivre celui du cours que j'avais eu en M1.
    Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coeff constants (exponentielle de matrices), non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. La partie localisation des zéros et théorie de Sturm (III-2)) n'est pas obligatoire du tout, j'ai juste trouvé ça joli en parcourant le Berthelin.
    Concernant le Wronskien et la résolvante, j'en ai peu parlé car je n'ai jamais été très à l'aise sur ces notions mais je pense que ça suffit. En effet, il ne faut pas leur faire dire plus qu'ils ne disent, c'est-à-dire des résultats purement théoriques. En effet, la résolvante résout mais est en général impossible à trouver ! Le Wronskien sert pour des exercices théoriques, et pour étudier qualitativement les solutions d'une équa diff qu'on ne sait pas résoudre (savoir si elles peuvent être toutes bornées etc...)
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  • Leçon :
  • Remarque :
    Quel plaisir de faire cette leçon : tout est dans le El Amrani (merci beaucoup à ce monsieur et à ses livres !)
    J'ai peut-être mis beaucoup de résultats considérés comme "triviaux" mais en sortant de M1, j'étais moyennement à l'aise avec l'analyse de Fourier, et faire cette leçon avec le livre de El Amrani m'a permis de bien consolider tout ça !
    Il faut bien être au clair sur les modes de convergence, les éventuelles implications entre elles. Et surtout, il faut bien savoir quand est-ce qu'on peut écrire $f=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n(f)e_n$ et en quel sens est-ce que l'on peut écrire ça (convergence dans $L^2$ ? Ponctuelle ?)
    Il faut savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie $L^2$ : c'est bien de savoir quelle peut être une fonction à considérer pour calculer $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$.
    La formule sommatoire de Poisson n'est pas très compliquée à travailler, tout est dans le Gourdon.
    Quant à l'équation de la chaleur, même si on ne la traite pas en DEV, ça me semble vraiment bien d'en parler car c'est historiquement l'une des origines de l'analyse de Fourier.
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