Oraux X-ENS Analyse 4

Francinou, Gianella, Nicolas

Utilisée dans les 14 développements suivants :

Équation de la chaleur sur le cercle
Théorème du relèvement
Chemin optique et calcul des variations
Chemin au dessus d'une courbe concave
Étude qualitative de x' = x^2 - t
Théorème de Sturm
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
Géodésiques du demi plan de Poincarré
Algorithme du gradient à pas optimal
Système proie-prédateur
Stabilité système à coefficients constants
Résolution de l'équation fonctionnelle $f' = f^{-1}$
Système de Lotka Volterra
Minimisation d'une fonctionnelle quadratique

Utilisée dans les 8 leçons suivantes :

243 (2024) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
239 (2024) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
246 (2024) Séries de Fourier. Exemples et applications.
220 (2024) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
221 (2024) Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
267 (2023) Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
229 (2024) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
253 (2024) Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Utilisée dans les 24 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Développement long. J'ai écrit beaucoup de détail pour que le lecteur comprenne bien ce qu'il se passe, mais il y a des moment où on peut se passer d'écrire (comme le calcul de $\frac{d}{dt}H$ ou les arguments à la fin). Je conseille de faire quelques dessins, et de ne pas hésiter à les manipuler.

    Je me suis un peu éloignée de ce qui est fait dans le FGN, notamment au moment de prouver que $I=\mathbb R$, car c'est trop long dans le FGN alors qu'une autre preuve tient en trois mots dès qu'on a le caractère borné de la solution maximale : lemme des bouts.

    Dans tout le développement, il y a deux arguments de monotonie (monotone borné donc convergeant et monotone donc injectif), cela me semble un peu léger pour justifier les 5 étoiles dans la leçon 229.
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  • Développement :
  • Remarque :
    Je démontre un énoncé un peu plus général que ce qui est fait dans le FGN qui coute pas beaucoup plus cher. Il y a énormément d'explications dans mon pdf, mais c'est pour que le lecteur comprenne ce qu'il se passe, n'écrivez pas tout au tableau devant le jury !

    La répartition du temps est facile à retenir : le développement est découpé en trois résultats, vous pouvez passer à peu près cinq minutes sur chacun d'entre eux.

    Ce développement peut aussi apparaître dans la leçon 228 : continuité, dérivabilité, en tant qu'application du TVI.
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Utilisée dans les 15 versions de leçons suivantes :