(2022 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.)
La théorie de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue une porte d'entrée obligée pour cette leçon. Elle constitue un des premiers triomphes historiques de l'utilisation de la complétude (méthode des approximations successives), et un exemple fondamental d'intervention de la dimension finie en analyse.
Sans que cet aspect devienne trop envahissant, les candidats pourront proposer quelques exemples de résolutions explicites : cas des coefficients constants (qui mobilise fortement la réduction des endomorphismes), utilisation de séries entières, variation des constantes, etc.
Même dans le cadre linéaire, les études qualitatives présentent un grand intérêt et fournissent de nombreuses possibilités aux candidats : étude du comportement asymptotique des solutions (pour lequel le lemme de Gronwall est un outil d'une grande efficacité), de la distribution des zéros, etc.
Les candidats solides pourront s'intéresser à la linéarisation d'équations non linéaires au voisinage
d'un point d'équilibre, proposer des exemples de problèmes aux limites (théorie de Sturm-Liouville)
ou d'études d'équations aux dérivées partielles linéaires.
(2019 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.)
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre ; un trop grand nombre de candidats se trouve déstabilisé par ces questions. $\\$ L’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici et doit être maîtrisée. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être davantage exploités dans cette leçon. Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu,...) sont aussi d’autres possibilités. $\\$ Pour aller plus loin, la résolution au sens des distributions d’équations du type $T'+aT=S$ via la méthode de variation de la constante, ou des situations plus ambitieuses, trouvera sa place dans cette leçon.
(2017 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.)
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à cœfficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre.
L’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être exploitées.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu,...) sont aussi d’autres possibilités.
(2016 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.)
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre.
L’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être exploitées.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu, . . .) sont aussi d’autres possibilités.
(2015 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.)
On attend d'un candidat qu'il sache déterminer rigoureusement la dimension de l'espace vectoriel des solutions (dans le cas de la dimension finie, bien sûr).
Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. L'utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s'expliquer. Dans le cas général, certains candidats évoquent les généralisations de l'exponentielle (résolvante) via les intégrales itérées.
Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l'analyse spectrale devraient être exploitées.
(2014 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.)
Exemples et applications. On attend d'un candidat qu'il sache déterminer rigoureusement la dimension de l'espace vectoriel des solutions (dans le cas de la dimension finie bien-sûr).
Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. L'utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s'expliquer. Dans le cas général, certains candidats évoquent les généralisations de l'exponentielle (résolvante) via les intégrales itérées. Les problèmatiques de stabilité des solutions et le lien avec l'analyse spectrale devrait être exploitées.
