Développement : Nombre de zéros d'une équation différentielle

Détails/Enoncé :

On considère l'équation différentielle linéaire du second ordre $(E) : y''+qy=0$. On suppose que $q \in \mathcal{C}^1([a,+\infty[,\mathbb{R}^*_+)$, que $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} \sqrt{q(u)}\mathrm{d}u=+\infty$ et que $q'(x)=o_{+\infty}(q^{3/2}(x))$. Alors pour toute solution $y$ non nulle de $(E)$, on a un équivalent à l'infini de $N : x \mapsto \mathrm{Card} \left\lbrace u \in [a,x]: y(u)=0 \right\rbrace$ donné par $N(x) \sim \frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{a}^x \sqrt{q(u)} \mathrm{d}u$.

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