Analyse pour l'agrégation

Queffelec, Zuily

Utilisée dans les 38 développements suivants :

Équation de la chaleur sur le cercle
Enveloppe convexe de On(R)
Densité des fonctions tests dans Lp
Théorème d'Hadamard Levy
Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
Équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann
Formule sommatoire de Poisson
Inégalité isopérimétrique
Prolongement de la fonction Zeta de Riemann
Équation différentielle dans les espaces de Hölder
Densité des fonctions continues nulles part dérivables
Théorème central limite
Equation de Hill-Mathieu
Nombre de zéros d'une équation différentielle
Théorème de Montel
Théorème de Fejer
Méthode de la phase stationnaire
Théorème de prolongement de Tietze
Equation de la chaleur dans une barre
Théorème de Lévy et TCL
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Prolongement de la fonction Gamma d'Euler
Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet
Convergence des séries de Dirichlet
Prolongement fonction Gamma d'Euler (+formule de Weierstrass)
Description géométrique des normes
Nombres normaux
Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein
Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier
Développement en série entière de la solution de y''+py'+qy=0
Théorème d'Hadamard Lévy par le flot
Calcul analytique de la somme quadratique de Gauss
Une classe de séries lacunaires sans dérivées
Paul-Lévy, TCL et applications
Théorème de Lévy et théorème central limite
Fonction caractéristique caractérise la loi + Théorème de Lévy
Formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson dans l'espace de Schwartz

Utilisée dans les 39 leçons suivantes :

239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.
223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
121 (2025) Nombres premiers. Applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
245 (2025) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications
220 (2025) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
214 (2025) Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
215 (2025) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
261 (2025) Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
262 (2025) Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
264 (2025) Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
266 (2025) Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

Utilisée dans les 88 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 159, 161 et 181.

    Ma version est une version "minimale" qui n'utilise pas Hahn-Banach, mais une version affaiblie du tout début de la démonstration de ce théorème dans un espace de Hilbert qui est très simple à démontrer.
    Attention à bien préciser que l'on admet deux gros théorèmes pour ce développement : Caratheodory et la décomposition polaire.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 209, 222, 241 et 246.

    Ma référence est le livre de M. Zuily et Queffélec, mais bien prendre une barre de longueur $\pi$ et pas L, c'est vraiment beaucoup trop pénible sinon et on perd beaucoup de temps.

    Développement très long et difficile à faire tenir en 15 mins et qui demande quelques répétitions. Admettre dans tous les cas le 2)b/ du document (dire à l'oral que ça ne marche pas).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 220 et 221.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 203,204,214,215,220

    J'ai fini par faire une preuve maison adaptée du ZQ utilisant les fonctions de Liapounov ; tous les théorèmes utilisés sont cités et démontrés dans le fichier, mais sinon je crois que pendant mon oral de modé j'ai trouvé des trucs là dessus dans le Hubbard-West. La preuve du ZQ (pas la nouvelle édition) a beaucoup de soucis, apparemment c'est plus simple dans le Bernis, mais je m'y suis attachée, donc bon. Si on ne passe pas par les fonctions de Liapounov, faire des dessins pour la stabilité asymptotique.

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Attention à comment vous rédigez la construction des intervalles de confiance asymptotiques ! En effet, on divise par une variable aléatoire qui s'annule avec probabilité non-nulle pour tout $n$ (bien qu'elle tende vers $0$) ! Sinon, le résultat est vraiment central et mérite un développement, même s'il n'est pas forcément compliqué à montrer grâce au théorème de Lévy (qui, lui, est plus dur à montrer). Ne vous privez pas de l'utilisation du logarithme complexe ! C'est au programme et ça simplifie quand même beaucoup la preuve !

    PS : J'ai mis qu'on prouve une version faible du théorème de Lévy. C'est bien le cas ! Le théorème de Lévy le plus général dit que si la suite des fonctions caractéristiques $\varphi_{X_n}$ converge simplement vers une fonction $\varphi$ bornée telle que $\varphi(0) = 1$ et qui est continue en $0$, alors il existe une variable aléatoire $X$ définie sur le même espace de probabilité que les variables $X_n$ telle que $X_n$ converge en loi vers $X$ ! Cela utilise le théorème de Prokhorov, donc c'est dur !
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ai un peu moins recasé ce développement que Tintin mais je suis d'accord avec lui :

    pour la 218 : démontrer d'abord la proposition de la page 3, puis le lemme (il y a une démonstration plus rapide, mais celle-ci met vraiment en évidence l'utilisation des formules de Taylor) puis le TCL
    pour 250, 261, 262, 266 : démontrer Lévy et TCL

    Ces démonstrations sont tirées du livre de Zuily-Queffelec (vraiment pas terrible pour l'agreg), à défaut de trouver meilleure référence. Il utilise des arguments compliqués pour Lévy, on l'a retravaillé ensemble avec Tintin et on a abouti à cette démo qui semble beaucoup plus digeste. Il faut juste savoir justifier que $\mathcal{C}^{\infty}_c(\mathbb{R})$ est dense dans $\mathcal{C}^{0}_c(\mathbb{R})$ (argument de convolution qui a été coupé sur la première page, si vous ne trouvez vraiment pas, n'hésitez pas à me contacter)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Première partie prise dans le Zuily-Queffelec, la seconde dans la version du développement de abarrier.

    Pour les recasages à mon avis:
    Approximation par des fonctions régulières
    Variables aléatoires discrètes
    Continuité et dérivabilité de fonctions réelles, bien que peut-être que pour ce recasage, c'est mieux de montrer quelques propriétés du module de continuité, on y exploite les propriétés de l'uniforme continuité. Ceci dit, comme on montre la densité des polynômes dans les fonctions continues, j'avais quand même mis ce recasage pour ma version.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Joli résultat, mais développement somme toute assez risqué. Il faut maîtriser le théorème de projection sur les convexes fermés dans un Hilbert (bon en même temps, il faut le maîtriser de toute façon), la décomposition polaire, et plus précisément sa version non inversible, le dual de Mn(R) (pas trop difficile) et le fameux théorème de Carathéodory. En dimension finie, il est honnêtement démontré dans un des Gourdon (je ne sais plus si c'est en algèbre ou en analyse). Il passe relativement bien dans le temps imparti, mais il faut quand même bien le connaître, et ne pas trop traîner. Un schéma pour la propriété de séparation dans les Hilbert ne fait pas de mal. Le Queffelec traite le lemme, et le BMP le reste. Ceci dit, je n'étais pas convaincu de la qualité de ces références, il faut mieux bien connaître les preuves. Côté recasages à mon avis:

    - Espaces vectoriels affines et euclidiens : distances, isométries
    - Convexité dans Rn (de part l'utilisation importante des barycentres dans le lemme, et le fait qu'on parle quand même d'enveloppe convexe...)
    - Dualité et formes linéaires en dimension finie. Si on le recase dans cette leçon, il faut quand même prouver, je pense, que le dual de Mn(R) est ce qu'il est, quitte à enlever quelque chose d'autre.
    - Endomorphismes remarquables dans un ev de dimension finie

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Références :
  • Fichier :

Utilisée dans les 132 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup la compacité, donc je me suis un peu éclaté en mettant des opérateurs compacts, le théorème de Montel et ses conséquences... On n'est évidemment pas obligé de mettre tout ça. Maintenant, comme c'est une leçon sur L'UTILISATION de la notion de compacité... Je pense qu'il faut en mettre un peu quand même !
    Par exemple Ascoli me semble incontournable ! Et si on met Ascoli... On peut bien mettre un peu d'opérateurs compacts ! Sachant qu'ici je n'ai mis que les choses de base sur ces objets, je ne suis pas allé vers la théorie spectrale.
    Attention avec la dimension finie à ne pas faire "le serpent qui se mord la queue"... Il faut d'abord montrer que les normes sont équivalentes en utilisant la compacité de la sphère qui se justifie par Bolzano-Weierestrass (et extraction diagonale) ! Puis on montre le théorème de Riesz...
    Si cela fait longtemps qu'on n'a pas trop manipulé de compacité, il convient de refaire quelques exercices car les arguments de compacité peuvent être parfois un peu futés...
    Une chose qu'il faut bien savoir justifier : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, la distance de tout élément de $E$ à $F$ est atteinte !
  • Références :
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  • Leçon :
  • Remarque :
    J'ai abordé cette leçon sous l'angle de : "y a-t-il une symétrie ou non ?"
    Le premier paragraphe traite la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$ donc la réponse est non, on a seulement la formule d'inversion. Dans le deuxième paragraphe, on s'intéresse à la transformée de Fourier-Plancherel et à la restriction sur la classe de Schwartz où l'opérateur Fourier réalise une bijection (et même un isomorphisme isométrique)
    Les théories $L^2$ et $\mathcal{S}$ m'ont demandé pas mal de travail, étant donné qu'on les avait traitées assez succintement en M1. Je conseillerais de faire quelques exercices sur le sujet, et si on n'est pas très à l'aise avec la classe de Schwartz comme moi, ne pas aller vers la topologie d'espace de Fréchet... La bijectivité de Fourier sur cet espace est amplement suffisante, pas besoin d'aller vers la structure topologique... Sauf si on en a envie et qu'on maîtrise bien le sujet bien sûr.
    J'ai voulu faire les polynômes orthogonaux en DEV2 mais le rapport du jury m'a un peu refroidi, apparemment il "saoule" le jury pour cette leçon... Lévy-TCL ça rentre bien, on utilise à un moment donné une transformée de Fourier, et la bijectivité de Fourier sur la classe de Schwartz. Pour ce dernier développement, on est un peu obligé d'utiliser le Zuily-Queffelec, mais il faut remanier un peu les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose... (voir ma version du DEV si vous voulez)
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