Développement : Théorème central limite

Détails/Enoncé :

Soit $X_n$ une suite de variables iid à valeurs dans $\mathbb{R}$ admettant un moment d'ordre 2. Alors
\[Y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb{E}[X_i])\right]\overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}\mathcal{N}(0,Var(X_1)).\]

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    Possibilité d'ajouter une des deux applications suivantes :

    Application 1 : Soit $p\in\, ]0,1[$. Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires réelles telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $Y_n$ suive la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Alors on a :
    $$ \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow[n\to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).$$


    Application 2 : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On étudie le modèle statistique $\left( \{0,1\}^n, \{\mathcal{B}(1,p)\}_{p\in\, ]0,1[}\right)$. Soit $X_n,\ldots,X_n$, un $n$-échantillon de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$, $p\in\,]0,1[$.
    Pour $\alpha\in\, ]0,1[$, déterminons un intervalle au niveau de confiance asymptotique $1-\alpha$ du paramètre d'intérêt $p$.

    Référence (également valable pour le TCL) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :