Leçon 218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

(2018) 218
(2025) 218

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 218 - Formules de Taylor. Exemples et applications.) La connaissance des différentes formules de Taylor, en une, ou plusieurs variables, de leurs différences et de leurs champs d'applications, allant de la géométrie (par exemple la position d'une courbe ou une surface par rapport à son espace tangent) jusqu'aux probabilités (comme par exemple le théorème central limite), doit constituer le coeur de la leçon. Les énoncés devront être illustrés par des exemples pertinents. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Cette analyse impose une bonne compréhension des relations de comparaison (notamment o et O). Le jury s'attend à ce que le lien entre l'existence d'un développement limité à un ordre n et l'existence d'une dérivée n-ième soit connu. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d'établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d'une fonction dont on contrôle les dérivées successives. Pour les candidates et candidats solides, on peut mentionner des applications comme le lemme de Morse, l'étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d'extrema. On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées, ou encore à l'analyse de méthodes d'intégration numérique.

(2017 : 218 - Applications des formules de Taylor.) Il faut connaître les formules de Taylor et certains développements très classiques et surtout être capable de faire la différence entre les formules et de maîtriser leurs champs d’application. En général, le développement de Taylor d’une fonction comprend un terme de reste qu’il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s’inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations o ou O qu’ils utilisent. De plus la différence entre l’existence d’un développement limité à l’ordre deux et l’existence de dérivée seconde doit être connue. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d’établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d’une fonction dont on contrôle les dérivées successives. Pour aller plus loin, on peut mentionner des applications en algèbre bilinéaire (lemme de Morse), en géométrie (étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d’extrema) et, même si c’est plus anecdotique, en probabilités (théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées, ou encore à l’analyse de méthodes d’intégration numérique ou l’étude de consistance de l’approximation de $\frac{d^2}{dx^2}$ par différences finies. On soignera particulièrement le choix des développements.
(2016 : 218 - Applications des formules de Taylor. ) Il faut connaître les formules de Taylor et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d’une fonction comprend un terme de reste qu’il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s’inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations o ou O qu’ils utilisent. De plus la différence entre l’existence d’un développement limité à l’ordre deux et l’existence de dérivée seconde doit être connue. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d’établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d’une fonction dont on contrôle les dérivées successives. Pour aller plus loin, on peut mentionner des applications en algèbre bilinéaire (lemme de Morse), en géométrie (étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d’extrema) et, même si c’est plus anecdotique, en probabilités (Théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées. On soignera particulièrement le choix des développements.
(2015 : 218 - Applications des formules de Taylor.) Il faut connaître les formules de Taylor des polynômes et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s'inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations $o$ ou $O$ qu'ils utilisent. De plus la différence entre l'existence d'un développement limité à l'ordre deux et l'existence de dérivée seconde doit être connue. Il y a de très nombreuses applications en géométrie et probabilités (par exemple le théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités $||f^{(k)}|| \le 2^{k(n-k)/2} ||f||^{1 - k/n} ||f^{(n)}||^{k/n}$ (lorsque $f$ et sa dérivée $n$-ième sont bornées). On soignera particulièrement le choix des développements.
(2014 : 218 - Applications des formules de Taylor.) Il faut connaître les formules de Taylor des polynômes et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Le jury s'inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations $o$ ou $O$ qu'ils utilisent. Il y a de très nombreuses applications en géométrie et probabilités (le théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités $||f^{(k)} || \leq 2^{\frac{k(n-k)}{2}} ||f||^{1-k/n} ||f^{(n)}||^{k/n}$ (lorsque f et sa dérivée n-ème sont bornées). On soignera particulièrement le choix des développements.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 218 - Formules de Taylor. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon plus simple à préparer qu'il n'y paraît ! J'aurais sans doute supprimé la partie sur l'analyse numérique si je l'avais tirée à l'oral, par peur des questions qui peuvent en découler.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !

2018 : Leçon 218 - Applications des formules de Taylor.


2017 : Leçon 218 - Applications des formules de Taylor.


2016 : Leçon 218 - Applications des formules de Taylor.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 218 - Applications des formules de Taylor.

  • Leçon choisie :

    218 : Applications des formules de Taylor.

  • Autre leçon :

    223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Morse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Q: Développement limité à l'ordre 2 implique-t-il dérivée seconde ? [non. Par exemple f(x)=sin(1/x)x^3]

    Q: Avez-vous une idée de la preuve "f et f^(n+1) bornée implique f^(k) bornée pour k entre 1 et n"? [utiliser Taylor-Lagrange et isoler les termes f et f^(n+1). Le polynôme des autres termes sera uniformément borné, puis utiliser l'équivalence des normes en dimension finie pour borner les coefficients]

    Q: Montrer que f(x)=(1-cos(x))/x^2 est C^{infinie}. [Elle est développable en série entière]

    Q: Historiquement, quel(s) problème(s) ont motivé l'introduction de ces notions et quand ? [Sérieusement ?]

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury plutôt coopératif.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 42 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 101 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 78 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 88 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 47 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 74 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 92 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 36 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 56 versions au total)
Cours d'analyse, Jean-Michel Bony (utilisée dans 1 versions au total)