Développement : Méthode de Newton

Détails/Enoncé :

Soit $f : [c,d] \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ tel que $f(a) = 0$ où $a \in ]c,d[$. On définit la suite $(x_n)$ par $x_0 \in [c,d]$ et $x_{n+1} = x_n - \frac{ f(x_n) }{ f'(x_n)}$ si $f'(x_n) \not=0$ et $x_{n+1} = x_n$ sinon. Alors sous certaines conditions on montre que $(x_n)$ converge vers $a$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Les calculs ne sont pas très longs mais en ayant une rédaction soignée, on arrive à bien montrer que la convergence n'est assurée que si $x_0$ est suffisamment proche du point d'annulation de $f$. Mais dans ce cas, on a aussi un contrôle sur la vitesse de convergence.
    C'est pourquoi en pratique on commence par utiliser une méthode moins forte comme la dichotomie avant d'utiliser Newton.
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    Utilisable dans plein de leçons donc ultra classique.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    J'avais rajouté le lemme pour insister sur le recassage pour les leçon de convexité mais au final je me suis rendu compte que c'était trop ambitieux et pas nécessaire si l'on explique bien avec un schéma ce qui ce passe et en quoi la convexité nous aide.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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    Ce développement est simple, efficace. Il faut par contre avoir bien compris la méthode, savoir l'illustrer avec des dessins, et savoir expliquer "pourquoi on sait que ça va marcher en posant $F$ comme cela" (point fixe superattractif, voir exo associé dans le Rouvière).
    Je ne traitais pas l'exemple dans le développement, je préférais commencer le développement par une explication rapide de la méthode avec un dessin, les tangentes etc...
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    Développement sympa, pas très long, efficace. Il y a pleins des variantes à explorer sur ce développement qui peuvent être sympa : cas des fonctions convexes, cas de racines multiples etc.
    Pour les références, la première partie est dans le Rouvière, la seconde dans le Dumas.

    Côté recasages à mon avis:
    Suites numériques
    Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.
    Formules de Taylor

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 227 versions au total)
Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas (utilisée dans 12 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 74 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 153 versions au total)
Analyse numérique, Une approche mathématique, Michelle Schatzman (utilisée dans 5 versions au total)