Développement : Méthode de Newton

Détails/Enoncé :

Soit $f : [c,d] \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ tel que $f(a) = 0$ où $a \in ]c,d[$. On définit la suite $(x_n)$ par $x_0 \in [c,d]$ et $x_{n+1} = x_n - \frac{ f(x_n) }{ f'(x_n)}$ si $f'(x_n) \not=0$ et $x_{n+1} = x_n$ sinon. Alors sous certaines conditions on montre que $(x_n)$ converge vers $a$.

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    Les calculs ne sont pas très longs mais en ayant une rédaction soignée, on arrive à bien montrer que la convergence n'est assurée que si $x_0$ est suffisamment proche du point d'annulation de $f$. Mais dans ce cas, on a aussi un contrôle sur la vitesse de convergence.
    C'est pourquoi en pratique on commence par utiliser une méthode moins forte comme la dichotomie avant d'utiliser Newton.
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