Leçon 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

(2023) 226

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.) L'intitulé de la leçon permet de se placer dans des contextes variés : R, $R^n$, voire certains espaces de Banach fonctionnels. En ce qui concerne le cadre réel, on pourra présenter des exemples d'études asymptotiques (si possible autres que $u_{n+1} = \sin(u_n)$), étudier l'itération d'une fonction suffisamment régulière au voisinage d'un point fixe, ou encore présenter des exemples de méthodes de résolution approchée d'équations. En ce qui concerne l'étude asymptotique des suites récurrentes, le jury souligne le fait que la mise en oeuvre d'une analogie discret-continu permet souvent de faire surgir naturellement la suite auxiliaire adaptée, plutôt que de la parachuter. En se plaçant dans $R^n$, on peut aborder par exemple l'étude des suites vérifiant une relation de récurrence d'ordre ⩾ 2, la convergence en loi de chaînes de Markov à espace d'états fini, ou encore l'extension à ce cadre de la méthode de Newton ou plus généralement les méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires. Dans le cadre banachique enfin, les applications de la méthodes des approximations successives ne manquent pas, qu'il s'agisse de la construction de solutions d'équations différentielles, intégrales, ou fonctionnelles

(2019 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio) Le concept de point fixe d’une fonction est évidemment au coeur de cette leçon et l’énoncé d’au moins un théorème de point fixe, qu’il faut savoir mettre en œuvre sur des exemples simples,est évidemment pertinent. Le jury est parfois surpris que des candidats évoquent un théorème de point fixe dans les espaces de Banach... sans être capables de définir ce qu’est un espace de Banach ou d’en donner un exemple ! Au niveau élémentaire, les questions de monotonie, les notions de points attractifs ou répulsifs peuvent structurer l’exposition et l’aspect graphique n’est pas à négliger. Le jury attend quelques exemples illustrant la variété des situations et la suite récurrente $u_{n+1}=\sin(u_n)$ n’est que l’un d’entre eux : il doit certes être maîtrisé mais ne peut être le seul exemple. L’aspect vectoriel,pourtant présent dans l’intitulé, est trop souvent négligé. Le comportement des suites vectorielles définies par une relation linéaire $X_{n+1}=AX_n$ fournit pourtant un matériel d’étude conséquent. $\\$ L’étude des suites numériques linéaires récurrentes d’ordre p est souvent mal connue, notamment le lien avec l’aspect vectoriel. La formulation de l’intitulé de cette leçon invite résolument à évoquer les problématiques de convergence d’algorithmes (notamment savoir estimer la vitesse) d’approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode deNewton(avec sa généralisation au moins dans $\textbf{R}^2$), algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d’Euler,...
(2017 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.) Citer au moins un théorème de point fixe dans cette leçon est pertinent. Le jury attend d’autres exemples que la sempiternelle suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ (dont il est souhaitable de savoir expliquer les techniques sous-jacentes). La notion de points attractifs ou répulsifs peut illustrer cette leçon. L’étude des suites linéaires récurrentes d’ordre p est souvent mal connu, notamment le lien avec l’aspect vectoriel, d’ailleurs ce dernier point est trop souvent négligé. Le comportement des suites vectorielles définies par une relation linéaire $X_{n+1} = AX_n$ fournit pourtant un matériel d’étude conséquent. La formulation de cette leçon invite résolument à évoquer les problématiques de convergence d’algorithmes (notamment savoir estimer la vitesse) d’approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton (avec sa généralisation au moins dans $R^2$), algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d’Euler,...
(2016 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications. ) Citer au moins un théorème de point fixe dans cette leçon est pertinent. Le jury attend d’autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$ (dont il est souhaitable de savoir expliquer les techniques sous-jacentes). La nouvelle formulation de cette leçon, qui sera en vigueur en 2017, invite à évoquer les problématiques de convergence d’algorithmes (notamment savoir estimer la vitesse), d’approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d’Euler, ... L’aspect vectoriel est souvent négligé. Par exemple, le jury attend des candidats qu’ils répondent de façon pertinente à la question de la généralisation de l’algorithme de Newton au moins dans $R^2$, voire $R^n$.
(2015 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.) Le jury attend d'autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$. Les suites homographiques réelles ou complexes fournissent des exemples intéressants, rarement évoqués. Cette leçon doit être l'occasion d'évoquer les problématiques de convergence d'algorithmes, d'approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d'Euler, ... L'aspect vectoriel est souvent négligé. Par exemple, le jury attend des candidats qu'ils répondent de façon pertinente à la question de la généralisation de l'algorithme de Newton dans $\mathbb{R}^2$.
(2014 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.) Exemples et applcations. un`1 “ f pun q. Le jury attend d'autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$. Les suites homographiques réelles ou complexes fournissent des exemples intéressants, rarement évoqués. Cette leçon doit être l'occasion d'évoquer les problématiques de convergence d'algorithmes d'approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de système linéaire, schéma d'Euler ...

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.


2020 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio


2018 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.


2017 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.


2016 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Leçon choisie :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Autre leçon :

    245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Algorithme du gradient à pas optimal

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (Il y a des problèmes d'affichage dans les retours d'oraux, mon 2e développement était la méthode QR)

    - On m'a demandé de préciser un point de mon développement (présenté en 13mn50) sur lequel j'étais allé vite par peur de manquer de temps, je l'ai fait, pas de problème.

    - Concernant mon développement, on m'a demandé si une certaine fonction était elliptique, j'ai montré que oui.

    - Quelle est la vitesse de convergence de la méthode du gradient à pas optimal ? Ma réponse : c'est la même que pour le gradient à pas fixe (vitesse linéaire), mais c'est très difficile à montrer théoriquement.

    - Exercice : étudier la suite $u_0 > 0$, $u_{n+1} = u_n\ e^{-u_n}$, et déterminer la nature de la série $\Sigma\ u_n$ (Réponse : elle diverge).

    - Exercice : on se donne une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue croissante (au départ, elle n'était pas croissante, mais le jury m'a permis de faire cette hypothèse pour simplifier un peu) vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R}, f(x+1) = f(x) + 1.\] On considère une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Étudier la "dépendance en $u_0$" de la suite des \[\frac{u_n-u_0}{n}.\] J'ai essayé pour une fonction $f$ particulière (affine), puis le jury m'a progressivement guidé dans l'exercice.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, composé de trois personnes, était bienveillant. Lorsque j'avais une idée, même si ce n'était pas la bonne piste, on me laissait l'explorer avant de me guider.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Jamais je n'aurais pensé choisir cette leçon face à de l'analyse complexe : le stress de l'oral fait faire des choix surprenants.
    Le plan que j'avais initialement prévu était beaucoup trop ambitieux : j'ai terminé avec 26 items au lieu de 40. D'ailleurs, je n'ai eu aucune question sur le plan ! Cela m'a surpris.

  • Note obtenue :

    17.25


2018 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Leçon choisie :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Autre leçon :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Algorithme du gradient à pas optimal

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Presque aucune question sur le développement.

    Comment justifier la présence dans le plan de suites récurrentes linéaires d'ordre h vu le titre de la leçon?
    Une telle suite peut être vu comme une suite récurrente linéaire vectorielle d'ordre 1, de la même manière que quand on ce ramène à des équations différentielles du type X'=f(t,X).

    J'avais mis dans le plan un algorithme pour la décomposition de DUNFORD tiré de NH2G2 tome 2. Questions: comment justifier la présence de cet algo dans le plan? C'est bien une suite définie par récurrence. Puis on m'a posé une question très précise sur la preuve du fait que cet algorithme converge (plus que ça: stationne), qui je pense visait plus à savoir si je conaissais en gros la preuve ou si j'avais mis cet algo au pif.

    Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2?
    L'ensemble des tels suites est un ev de dimension 2. A partir de là j'ai séché un peu. Puis j'ai résolu le problème avec pas mal d'aide.

    Que peut on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite?
    Fermé. Ensuite ils m'ont cuisiné un peu mais je n'avais pas la réponse. Je pense que le théorème attendu était "L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'un espace métrique compact est connexe".

    Étudier la suite xn=e^2ipian? Que peut on dire de ces valeurs d'adhérence?
    C'est bien une suite définie par récurrence. Si a est rationnelle elle prendra un nombre fini de valeurs et les valeurs d'adhérence correspondront à un certain polygone régulier. Si a est irrationnelle on intuite que l'ensemble des valeurs d'adhérence sera dense dans le cercle. Pas réussi à aller au bout de la question mais j'ai put dire: celà ce ramènera à l'étude d'un certain sous groupe additif de R, de tels sous groupes sont denses ou monogènes, il est monogène si et seulement sir l'inf de ses éléments positifs est strictement positif.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était moyen sympathique, mais globalement ça allait. Par contre ils aidaient beaucoup, et cet oral était un vrai dialogue.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16.75

  • Leçon choisie :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Autre leçon :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Algorithme du gradient à pas optimal

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Presque aucune question sur le développement.

    Comment justifier la présence dans le plan de suites récurrentes linéaires d'ordre h vu le titre de la leçon?
    Une telle suite peut être vu comme une suite récurrente linéaire vectorielle d'ordre 1, de la même manière que quand on ce ramène à des équations différentielles du type X'=f(t,X).

    J'avais mis dans le plan un algorithme pour la décomposition de DUNFORD tiré de NH2G2 tome 2. Questions: comment justifier la présence de cet algo dans le plan? C'est bien une suite définie par récurrence. Puis on m'a posé une question très précise sur la preuve du fait que cet algorithme converge (plus que ça: stationne), qui je pense visait plus à savoir si je conaissais en gros la preuve ou si j'avais mis cet algo au pif.

    Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2?
    L'ensemble des tels suites est un ev de dimension 2. A partir de là j'ai séché un peu. Puis j'ai résolu le problème avec pas mal d'aide.

    Que peut on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite?
    Fermé. Ensuite ils m'ont cuisiné un peu mais je n'avais pas la réponse. Je pense que le théorème attendu était "L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'un espace métrique compact est connexe".

    Étudier la suite xn=e^2ipian? Que peut on dire de ces valeurs d'adhérence?
    C'est bien une suite définie par récurrence. Si a est rationnelle elle prendra un nombre fini de valeurs et les valeurs d'adhérence correspondront à un certain polygone régulier. Si a est irrationnelle on intuite que l'ensemble des valeurs d'adhérence sera dense dans le cercle. Pas réussi à aller au bout de la question mais j'ai put dire: celà ce ramènera à l'étude d'un certain sous groupe additif de R, de tels sous groupes sont denses ou monogènes, il est monogène si et seulement sir l'inf de ses éléments positifs est strictement positif.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était moyen sympathique, mais globalement ça allait. Par contre ils aidaient beaucoup, et cet oral était un vrai dialogue.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16.75


2017 : Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

  • Leçon choisie :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

  • Autre leçon :

    204 : Connexité. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Méthode du gradient conjugué

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Remarque : j'ai présenté la méthode du gradient à pas optimal (non répertorié ici).
    On m'a posé des questions autour du développement. J'y ai plus ou moins bien répondu. Ensuite on m'a donné un exercice sur les suites récurrentes. Puis un autre qui faisait intervenir des notions de séries et un dernier pour savoir comment passer d'une suite récurrente d'ordre 2 à une suite récurrente d'ordre 1.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très vif, pas trop le temps de répondre. Donner les idées suffisaient généralement. Sinon il était bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

  • Autre leçon :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Méthode de Newton pour les polyômes

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Donner un exemple qui rend utile l'énoncé de Picard-Banach sur un espace complet (Réponse : Cauchy-Lipschitz)
    -Tracer+Calculer l'équation de la droite dans la méthode de la sécante.
    -Expliquer le lien entre les conditions de stabilité des points fixes, et la stabilité des solutions des EDL (Réponse : Le module des v.p. doit être \leq 1 pour une stabilité, avec en plus une condition sur la dimension des espaces propres)
    -Faire le calcul de la différentielle de l'application apparaissant dans la méthode de Newton-Raphson (J'ai fini sur cette question)

    A part cela, je n'ai eu aucune question sur le plan, et je ne crois pas avoir eu d'autres questions sur le développement.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été bienveillant et gentil. J'ai passé beaucoup de temps sur le calcul de la différentielle, et il a essayé de m'aider à terminer le calcul malgré le fait que je ne comprenais pas vraiment comment utiliser ses indications.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je pensais avoir plus de questions concernant les suites récurrentes (notamment sur des équivalents, l'utilisation de DL,...), mais hormis la question portant sur le Th de Picard-Banach, je n'ai eu que du petit calcul ou des questions de stabilité de solutions.

  • Note obtenue :

    16.75


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 400 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 23 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 50 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 214 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 130 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 56 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 31 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 52 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 135 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 22 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 48 versions au total)
Topologie générale et espaces normés , Hage Hassan (utilisée dans 20 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 16 versions au total)
Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 16 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 45 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 38 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 276 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 36 versions au total)