Développement : Les suites récurrentes linéaires d'ordre p forment un espace vectoriel engendré par des suites géométriques

Détails/Enoncé :

On démontre que $\forall (a_k)_{0 \leqslant k \leqslant p-1} \in \mathbb{C}^p, p \in \mathbb{N}$, si le polynôme de $\displaystyle{\mathbb{C}_p[X]$ $P = X^p + \sum_{k=0}^{p-1} a_k X^k}$ est scindé à racines simples sous la forme $\displaystyle{\prod_{k=0}^{p-1} (X - \lambda_k)}$, alors l'ensemble $\displaystyle{F = \left\{ u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \ \middle|\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+p} = \sum_{k=0}^{p-1} a_k u_{n+k} \right\}}$ est engendré par les suites géométriques $((\lambda_k)^n)_{n \in \mathbb{N}}$. Pour la 226, on notera bien entendu qu'on peut transformer $\displaystyle{\ u_{n+p} = \sum_{k=0}^{p-1} a_k u_{n+k}}$ en $\ U_{n+1} = f(U_n)$ en mettant tout sous forme de vecteurs-colonnes, comme avec les équations différentielles.

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