Développement : Critères de convergence pour les méthodes itératives (cas des matrices hermitiennes)

Détails/Enoncé :

[Note des modérateurs : pour le développement sans les matrices hermitiennes voir : https://agreg-maths.fr/developpements/104 ]

Théorème: Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{C})$, soit $(M;N)$ une décomposition régulière de $A$ et $(x_k)_{k\in\mathbf{N}}$ une méthode itérative basée sur $(M;N)$.
Alors: $(x_k)$ converge si et seulement si $\rho (M^{-1}N)<1$.

Théorème: Soit $A\in H_n^{++}(\mathbf{C})$, $(M;N)$ une décomposition régulière de $A$.
Alors: $(M^*+N)\in H_n(\mathbf{C})$.
Si de plus, $(M^*+N)\in H_n^{++}(\mathbf{C})$, alors: $\rho (M^{-1}N)<1$.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement consistant de deux théorèmes donnant des critères de convergence de méthodes itératives dans le cas général et dans le cas de matrices thermiciennes définies positives.

    Résultats bonus:
    1. Pour toute matrice A dans M_n(C) et pour tout epsilon >0, il existe une norme matricielle subordonnée ||.|| telle que ||A|| <= rho(A) + epsilon
    2. Pour toute norme matricielle subordonnée ||.|| dans R^n, il existe un vecteur unitaire v de R^n tel que ||A|| = ||Av||.

    Développement n°26 sur 28.
    Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 25 versions au total)