Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

Théorème de Burnside

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Question sur le développement :


J=Jury,M=moi

Le développement s’est bien passé (pas d’erreurs) et je l’ai terminé en 14 minutes.

J : Comment vous vous assurez de l’existence d’une base de Vect(G) avec des éléments de G ?

M : C’est le théorème de la base incomplète

J : Vous avez dit que c’est le déterminant de Vandermonde mais ce n’est pas vraiment le cas ?

M : J’avais oublié de « sortir » les lambdas pour effectivement avoir une matrice de type Vandermonde.

J : Est ce que le résultat est vrai pour des groupes de Gln(Q) ?

M : Hum… Bien que j’utilise le fait que tous polynôme est scindé je pense que le résultat reste vrai il suffit de faire tout ce que je viens de faire dans C qui est une extension de Q ?

J : (pas vraiment) que pouvez vous dire des groupes de GLn(Q) et de GL(C) ?

M : Ah oui effectivement un groupe de Gln(Q) est un groupe de Gln(C) donc le résultat est encore vrai !

(Il y avait aussi une petite erreur j’avais écrit 0^k=0 et j’avais oublié de dire k différent de 0)


Questions sur d’autres points :


Jury pose des petites questions sur les polynômes caractéristiques puis me pose une question que je ne comprends pas, il reformule je ne comprends toujours pas, je dis (de manière un peu hasardeuse)que le polynôme caractéristique est invariant par similitude…

Finalement je crois que sa question était en gros de montrer que pour un endomorphisme son polynôme caractéristique est invariant par similitude. Je le fais sans difficulté en utilisant la définition du polynôme caractéristique (det(XIn-A)).

J’avoue que cela m’a un peu surpris je ne comprenais pas ce qu’il voulait et j’ai du répéter 3 fois la même chose mais le jury était sympathique et n’a pas été agacé par cette difficulté de compréhension.


Trois questions du même type

Si u est nilpotent/trigonalisable/diagonalisable et on a F tq u(F)cF alors u restreint à F est encore nilpotent/trigonalisable/diagonalisable.

M : Il suffit d’utiliser la caractérisation des endomorphismes par les polynômes.

Diagonalisable : existence polynôme annulateur scindé à racines simples

Nilpotent : polynôme caractéristique qui vaut X^n

Trigonalisable : polynôme caractéristique scindé


Questions sur le plan :


J : Que pouvez vous dire de l’adhérence des matrices diagonalisable ? (c’était dans mon plan)

M : Sur R et sur C ce sont les matrices trigonalisables

J : Pouvez vous le montrer ?

M : J’explique l’idée…

J : Pouvez vous le faire vraiment ?

Je galère un peu mais finalement ça va à peu près.


J : Qu’est ce qu’un endomorphisme semi-simple ? (c’était dans mon plan)

M : Un endomorphisme dont le polynôme minimal est sans facteur carré

J : Oui mais une autre vision ?

M : Ah oui la vraie définition c’est u est semi simple si pour F tq u(F)cF alors il existe un supplémentaire G tq u(G)cG.

J : Mais du coup c’est une généralisation de quoi ?

M : De la diagonalisabilité en effet u est semi simple ssi u est diagonalisable dans une extension mais je crois que cela est faux si le corps n’est pas parfait.



J : Soit M,N deux matrices nilpotentes de même rang et de même polynôme minimal. Sont elles

semblables ?

M : Si leur indice de nilpotence est n oui par la décomposition de Frobenius (je ne voulais pas trop en parler car je ne maîtrise pas trop ça)

J : Pouvez vous décrire les blocs obtenus ?

M : Ah oui vu que c’est nilpotent on a des blocs avec que des 0 et des 1

J : Comment ils s’appellent ?

M : Les blocs de Jordan

Je donne des pistes (sans dire de bêtises) et il semble que ce soit l’idée mais le temps est écoulé.

Le jury était plutôt sympathique. Ils étaient attentifs mais pas du tout cassant. C'était un oral sympathique !

Pas de surprise, je maitrisais bien cette leçon (contrairement à la leçon 191).

15.75

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

Connexité par arcs dans les matrices nilpotentes (privées de la matrice nulle)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

1) Questions sur le dev
- Plusieurs questions pour préciser les objets introduits dans la démonstration (je crois qu'ils n'ont pas vraiment compris le dev, la faute à une présentation un peu brouillonne)
- Pourquoi l'application qui à $M$ associe $M^n$ est continue?
- Pourquoi $GL_n^{+}(\mathbf{R})$ est connexe par arcs? (que j'avais admis pour le dev)
- Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue? (utiliser la formule de la comatrice)

2) Questions sur le plan
- Faire le lien entre les noyaux itérés et l'ordre de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent
- Soit E un espace vectoriel de dimension finie, $u$ un endomorphisme trigonalisable qui stabilise le drapeau $F_i$ et $g$ un isomorphisme. Quel est le drapeau stabilisé par $g \circ u \circ g^{-1}$? (c'est le drapeau $g(F_i)$). Quel est le principe très général derrière ce résultat? (c'est un résultat sur les stabilisateurs d'une action de groupe)
- Est ce qu'il existe des matrices non trigonalisables dans $M_n(F_q)$ (une matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé, il suffit de choisir un polynôme $P$ de degré n qu'on ne peut pas scinder dans $F_q[X]$ et on considère la matrice compagnon de $P$)

3) Exercices
- Soit $u$ un endomorphisme. Trouver l'ensemble des polynômes en $u$ qui sont nilpotents (si $\mu_u$ est le polynôme minimal de $u$ et $\mu_u = {P_1}^{\alpha_1} {P_2}^{\alpha_2}... P_k^{\alpha_k}$ est sa décomposition en éléments irréductibles de $K[X]$ alors l'ensemble de nilpotents de $K[u]$ est l'ensemble des multiples de $P_1 P_2 ... P_k$)
- Trouver la dimension maximale d'un sev de $M_n(K)$ constitué de matrices nilpotentes (c'est $d = n(n-1)/2$, exhiber le sev des matrices triangulaires supérieures de diagonale nulle de dimension $d$, et montrer par un argument de dimension que s'il existait un sev de matrices nilpotentes de dimension strictement supérieure à $d$, il intersecterait de façon non triviale l'ensemble des matrices symétriques ce qui est absurde, puisqu'une matrice symétrique et nilpotente est nulle)
- On suppose $K = \mathbf{C}$. Montrer que $u$ est diagonalisable ssi le seul polynôme en u nilpotent est l'endomorphisme nul (j'ai séché sur celle là).

Un peu d'aide, neutres.

Pas de réponse fournie.

17

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

161 : Distances et isométries dun espace affine euclidien.

Théorème de Burnside

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

D’abord quelques questions sur le développement :
-Pourquoi est ce qu’on peut prendre une base de Vect(G) formée d’éléments de G ?
On prend tous les éléments de G : c’est générateur et on extrait une base
-Pourquoi Vect(G) est de dimension finie ?
C’est inclus dans l’ev des matrices qui est de dimension finie
-Préciser pourquoi nilpotent implique trace nulle
-Ensuite ils ont essayé de ma demander si sur un corps autre que C la condition Tr(A^k)=0 pour tout k était encore équivalent à nilpotent
Un sens est encore vrai (la trace est encore nulle si on est nilpotent car un nilpotent est trigonalisable quel que soit le corps) et ensuite j’ai essayé de
chercher pourquoi l’autre sens ne serait pas vrai. Ils ont fini par me demander sur quel corps je pouvais me placer pour que la trace de In soit nulle alors
que In est non nilpotente : j’ai répondu F2 pour les matrices de taille 2 par exemple.

-Est-ce que je peux mettre tout groupe fini dans Gln (la question n’était pas posée aussi clairement mais j’ai bien compris ce qu’ils attendaient)
J’ai répondu que oui par Cayley puis les matrices de permutation.
Question sur le plan :
-pourquoi si f trigonalisable l’endo induit sur un sous espace stable l’est aussi ?
Le rapport du jury soulignait le fait qu’il fallait bien avoir compris ce point : le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit divise celui de u donc il
est également scindé
-dans mon plan j’ai énoncé la trigonalisation simultanée mais pour une famille finie d’endomorphismes, on m’a demandé si c’était important que la famille
soit finie (non) et ce qui était important alors (qu’ils commutent 2 à 2)
-Un autre moyen (que Dunford) pour calculer l’exponentielle de matrice (j’avais parlé de l’exponentielle de matrices dans mon plan) ?
J’ai mis un peu de temps à comprendre ce qu’elle voulait me faire dire mais j’ai réussi à sortir les polynômes interpolateurs de Lagrange.
-Un condition suffisante pour que si u et v sont nilpotents u+v le soit aussi
J’ai répondu que si ils commutaient cela fonctionnait (c’était dans mon plan)
-Ils ont ensuite essayé de me faire démontrer un proposition de mon plan à la main (j’avais essayé avant de donner un argument de dimension mais qui
était un peu flou) : N=Vect(u, tr(u)=0) : étant donné une matrice de trace nulle ils voulaient que je le décompose en combinaison linéaire de nilpotents. Je
n’ai pas réussi à aboutir

-Un exercice : déterminer l’ensemble de P(u) de K[u] tels que P(u) soit nilpotent (u étant un endomorphisme fixé quelconque
Je n’ai pas réussi à finir mais ils ont réussi à me faire dire des choses : c’est un sev (car les polynômes en u commutent) de K[u] donc de dimension plus
petite que le degré du polynôme minimal de u

Le jury était très gentil et encourageant, un des 3 était super enthousiasmé dès qu’il me posait une question et tous hochaient la tête dès que je
commençais à dire quelque chose qui était bien pour m’encourager.

Pas de réponse fournie.

15.00

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Critère de nilpotence de Cartan

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

-Ils ne connaissaient visiblement pas le critère de nilpotence de cartan ( qui se trouve dans le beck) et ont même cru pendant quelques (longues) minutes que m'ont énoncé était faux et m'ont donc fait écrire l'énoncé au tableau jusqu'à se rendre compte qu'il n'y avait aucune erreur (ouf).
Mon developpement s'est bien passé. Ils m'avaient demandé avant de me lancer si je pouvais, si le temps me le permettait, prouver le lemme dont je me servais à la fin. Après mon developpement je leur ai proposé de leur montrer, mais ils n'ont finalement pas voulu.
Ils m'ont ensuite demandé comment il pouvait être utile concrètement ( j'ai dis que c'était un lemme important dans la théorie des algèbres de Lie) et ont demandé une version plus faible qui serait plus directement utile, j'ai donc dis qu'on en déduisait le fameux critère : si A tq pour tout k on a tr(A^k)=0 alors A nilpotent.
Ensuite, j'avais marqué dans mon plan un exemple de matrice qui n'était pas diagonalisable dans R ( la fameuse (01)(-10)) sauf que j'avais oublié le - et que je n'arrivais pas à comprendre mon erreur. Ils ont donc voulu une interpréation de la matrice en terme géométrique pour que je vois les valeurs propres. (A la toute fin je me suis rendue compte que ah oui en fait elle est symétrique donc ce que je disais choquait...)
Ensuite je ne me souviens plus clairement mais dans mon plan j'avais parlé de symétrie vectorielle et ils m'ont demandé de le representer et j'ai beaucoup buggé, n'arrivant pas à m'absoudre des symétries orthogonales. J'avais mis de la topologie dans mon plan alors ils m'en ont parlé et j'ai dis des enormes conneries mais m'en suis heureusement rendu compte avant la fin.

Le jury était extremement sympathique. Malgré un membre qui était assez froid, les autres étaient sincèrement de bonne humeur mais c'était très agréable !

Chose à savoir : on a droit à nos notes du temps de préparation pendant l'oral ! Pas pendant le developpement evidemment mais pendant la séance de questions.

16

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Beaucoup de questions concernant le développement (donner la décomposition de Dunford d'une matrice donnée) puis sur l'exponentielle matricielle (les classiques décomposition de Dunford de l'exponentielle de u en fonction de celle de u, et montrer que l'exponentielle de u est dans K[u]. )

Très sympathique et bienveillant. Si je bloquais, il me guidait et grâce à cela, j'ai toujours pu aboutir au résultats espérés.

L'oral en général ne m'a pas surpris, ni sa préparation. Ce qui m'a surpris c'est l'organisation qu'il y a tout autour et qui peut donner le vertige pour le premier jour.

Pas de réponse fournie.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

127 : Droite projective et birapport.

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Quasiment que des questions sur le développement et le plan.

sur le développement, que je fais à partir de la décomposition de Dunford,

Pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice ? Bah K[A] est fermé :3

Ouais mais pourquoi c'est fermé ? Donc bon c'est un EV de dimension finie

Pourquoi l'inverse est un polynôme en la matrice ? Bah on utilise un polynôme annulateur, il a voulu que je lui fasse le calcul de 2 lignes au tableau

Quel est le lien entre les valeurs propres de la matrice et celle de ça décomposition de Dunford ? En fait on cotrigonalise les deux matrices et vu que la nilpotente a des zéros sur la diagonale on conclut.



Sur le plan, comment on montre le lemme des noyaux, pourquoi votre deuxième développement est dans le sujet, c'est vrai qu'au début c'est pas immédiat mais toute la démo repose sur une trigonalisation et un calcul que tu fait de la matrice trigonalisée, en quoi tr f^k =0 pour tout k est une caractérisation des matrices nilpotentes, démo que j'ai lu dans le FGN juste avant de passer, et divers autres trucs

Le jury était très sympa, question moyenne assez classiques sur TOUS les points du développement, du coup assez content parce que j'étais au taquet =) Une question à la fin, un peu plus dur et des indications très bizarres 'quel est votre raisonnement mathématique préféré ?' qui me fait me poser la terrible question, toi membre du jury es tu constructiviste ? En l'occurrence il ne l'était pas

ça s'est plutôt bien passé, j'ai répondu à quasiment toutes les questions, ils avaient l'air contents. A la fin, l'un m'a demandé si je connaissais une caractérisation géométrique de la trigonalisabilité, j'ai pas trouvé, il m'a parlé de drapeau.

Le tableau était tout petit, et j'avais des craies, clairement heureusement que je suis passé sur un développement court.

J'ai dépassé sur la défense de plan, ils m'ont arrêté à la seconde près sans me prévenir, mais vu qu'il me restait juste à présenter mon 2e développement, il m'a demandé de finir.

Et une remarque qui m'a laissé perplexe 'Vous dîtes qu'une matrice est nilpotente ssi tr f^k =0 pour tout k, mis c'est faux, regardez pour In ça ne marche pas, beaucoup de candidats font l'erreur', je crois qu'il a vite compris que c'était n'imp' et qu'il devait confondre avec une erreur classique, parce que In c'est pas vraiment nilpotent, ou alors j'ai vraiment rien compris ...

Pas de réponse fournie.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

126 : Exemples d'équations diophantiennes.

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Petites questions sur quelques points du développement où j'étais allé un peu vite. Quelques questions sur le plan, puis deux exos.

- Après Householder : comment on choisit $M$ et $N$ en pratique ? (j'avais mis la décomposition $D-E-F$ dans le plan mais pas dit grand-chose dessus) On veut quoi comme bonnes propriétés sur $M$ ? Comment on fait pour savoir si effectivement la méthode va converger ? (ben, on ne regarde pas $\rho (M^{-1}N)$ qui est horrible à calculer, donc on calcule juste des itérations de $x_n = M^{-1}(Nx_{n-1} +b)$ et on regarde si ça a l'air de converger... là, je me suis dit que mon développement, il était vraiment très très très utile, mvoyez).

- D'après le plan on peut cotrigonaliser $f$ et $g$ s'ils commutent (et sont trigonalisables), est-ce qu'on a une réciproque ?

- $f$ trigo $\Leftrightarrow$ $\chi_f$ scindé ; et pour le polynôme annulateur ? Comment on prouve le cas $\chi_f$, comment on modifie la preuve pour $\mu_f$ ?

- Exo 1 : on prend (sic) la matrice $A$ suivante :
$$
\begin{matrix}
1 \esperluette 1 \esperluette -1 \\
0 \esperluette 4 \esperluette 1 \\
0 \esperluette 0 \esperluette 9
\end{matrix}
$$
Calculer ses racines carrées.
Bon, ben la matrice est clairement diagonalisable, on voit bien à quoi ses racines ressemblent. On prend $R$ une racine, elle commute à $A$ puisque $A=R^2$ est un polynôme en $R$, et on travaille là-dessus pour montrer que $R$ est forcément de la bonne forme ($R$ est encore trigonale, puisqu'elle conserve les sous-espaces propres de $A$). J'ai perdu beaucoup de temps sur cet exo bidon, c'était pas beau à voir.

- Exo 2 : on se donne $A$, $B$ telles que $A+\lambda B$ soit nilpotente en au moins $n+1$ valeurs distinctes de $\lambda$. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
On regarde le polynôme caractéristique de $\chi_{A+\lambda B}$ ; à part pour le degré $n$, les coefs sont des polynômes en $\lambda$ qui ont trop de racines pour leur degré donc sont nulles. Après, il reste à évaluer en $0$ pour avoir la nilpotence de $A$, puis en factorisant $\lambda$ on récupère $B$ nilpotente.

Pas bien dur, des trucs d'AL de petit taupin sur lesquels j'étais pas complètement au point. On m'a, là encore, pas mal aidé dès que je bloquais. Les trois membres du jury sont intervenus et étaient sympa.

Les questions sur les méthodes itératives étaient beaucoup plus sympa que ce que je pensais, j'y connais pas grand-chose au fond mais j'avais de quoi répondre. Sinon, pas de surprise, pas trop de joie non plus parce que c'était pas ouf.

Note : j'avais Risler dans mon jury, c'est dans son livre qu'il y a l'algorithme de Dunford effectif (que j'avais détaillé dans le plan), j'espère qu'il a kiffé.

11.75