Leçon 127 * : Droite projective et birapport.

(2014) 127
(2016) 127

Dernier rapport du Jury :

(2015 : 127 - Droite projective et birapport.) Il s'agit également d'une leçon récemment introduite et reprenant un titre ancien. Le birraport peut être vu comme un invariant pour l'action du groupe linéaire $GL_2(\mathfrak{K})$ (ou plus finement son quotient projectif $PGL_(2 , \mathfrak{K})$ sur l'ensemble $P^1(K)$ des droites du plan vectoriel $\mathfrak{K}^2$. Lorsque le corps $\mathfrak{K}$ est le corps des complexes, il ne faudra pas manquer d'en voir les applications à la cocyclicité, et à l'étude des droites et cercles du plan affine euclidien. On peut s'aider du birapport, sur des corps finis, pour construire des isomorphismes classiques entre groupes finis de petit cardinal. L'ensemble des droites du plan contenant un point fixe est naturellement une droite projective. Cela permet enfin d'identifier une conique à une droite projective : c'est l'idéal d'une preuve classique du théorème de l'hexagramme de Pascal. Par ailleurs, on pourra remarquer le birapport dans l'expression de la distance hyperbolique sur le demi-plan de Poincaré.

(2014 : 127 - Droite projective et birapport.) Il s'agit également d'une leçon nouvelle reprenant un titre ancien. Le birapport peut être vu comme un invariant pour l'action du groupe linéaire $GL(2, K)$ (ou plus finement son quotient projectif $PGL(2, K)$) sur l'ensemble $P^1(K)$ des droites du plan vectoriel $K^2$. Lorsque le corps $K$ est le corps des complexes, il ne faudra pas manquer d'en voir les applications à la cocyclicité, et à l'étude des droites et cercles du plan affine euclidien. On peut s'aider du birapport, sur des corps finis, afin de construire des isomorphismes classiques entre groupes finis de petit cardinal. L'ensemble des droites du plan contenant un point fixe est naturellement une droite projective. Cela permet enfin d'identifier une conique ayant au moins un point à une droite projective : c'est l'idée d'une preuve classique du théorème de l'hexagramme de Pascal. Par ailleurs, on pourra remarquer le birapport dans l'expression de la distance hyperbolique sur le demi-plan de Poincaré.

Plans/remarques :

2015 : Leçon 127 - Droite projective et birapport.


Retours d'oraux :

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