Développement : Dimension du commutant

Détails/Enoncé :

Soit $A \in M_n(K)$. On note $C(A) = \{ M \in M_n(K) : AM = MA \}$. Alors $\mu_A = \chi_A$ si et seulement si $K[A] = C(A)$.

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    Pour la leçon 151, faire la version qui utilise l'invariance du rang par extension de corps (qui est par ailleurs selon moi plus simple à justifier). Pour la 162, la version systémique du FGN est très bien, à condition de savoir expliquer pourquoi la dimension de l'espace des solutions ne change pas par extension de corps.

    Parmi les questions possibles:

    Peut-on toujours prendre une extension sur laquelle A est trigonalisable ? Oui, sachez comment construire un corps de décomposition par récurrence. Je ne pense pas qu'il soit utilise de s'aventurer vers les clôtures algébriques et le théorème de Steinitz.

    Les histoires de cyclicité, la condition sur l'égalité des polynômes minimal et caractéristique, du coup savoir un peu parler du polynôme minimal ponctuel, ...
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    Les auteurs vont un peu vite sur le cas où la matrice n'est pas trigonalisable. J'ai tenté de détailler en m'inspirant de la version de 20-sided dice.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 70 versions au total)