Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Suite au développement sur Gauss, que je pensais bien maîtriser, il y a eu deux questions :
-A un moment du développement, vous dites que pour k dans (Z/pZ)*, g_k qui à (somme de 1 à p-1 des x_i w^i) associe (somme de 1 à p-1 des x_i w^(ik) ) est un morphisme de corps, vous pourriez le montrer ?
(Pour ceux qui sont hors contexte : on se place sur l'espace vectoriel Q(w), de base {w, ... w^(p-1)} )
"Oui alors on va commencer par montrer que c'est un morphisme de groupe (là on me dit que c'est pas la peine), puis pour le côté morphisme de corps on va calculer g_k( x * y) et g_k(x) * g_k(y) séparément et constater qu'ils sont égaux."
J'avais déjà réfléchi vaguement à cette question donc je pensais que ça allait être facile, je développe et je dis "bon voilà c'est égal", sauf que le jury me fait remarquer que j'ai "mal" développé ma somme double ou du moins affirmé quelque chose d'a priori faux.
A partir de là ils ont passé pas mal de temps à m'aider à essayer de montrer que c'était bien un morphisme, mais je n'y suis pas parvenu...je ne sais pas si c'est vraiment dur à montrer ou si c'est juste la panique au tableau qui m'a fait louper cette question qui n'avait pas l'air si méchante...
-A un autre moment du développement, vous dites que l'espace vectoriel associé à la valeur propre -1, s'il n'est pas égal à {0}, est de dimension 1 sur K_i, vous pourriez expliquer ?
Donc là je réexplique ce que j'ai dit pendant mon développement, en stressant un peu car si on me demande de réexpliquer, je m'attends à avoir encore fait une erreur de raisonnement. Mais non, cette fois-ci c'est bon, mon explication est correcte. J'avais du expliquer un peu trop rapidement la première fois. "On prend deux éléments x et y associés à la vp -1, alors g(x/y)=-x/-y=x/y donc x/y est dans K_i et donc x=ly où l € K_i donc E-1 est bien de dimension 1 sur K_i. "
Ensuite fin des questions sur le développement, et premier exercice :
-Soit K une extension de degré 2 de Q, montrez que K = Q(racine(d)) avec d un entier relatif.
Aucune idée de comment faire, mais bon je dis que je vais prendre un élément x de K\Q, considérer son polynome minimal, et puisque c'est un polynome de degré 2, exprimer x en fonction des coefficients. Je commence à dire "peut-être qu'on pourrait montrer K=Q(racine(delta))" mais on me fait remarquer que delta n'est pas un entier. Donc je fais la réflexion qu'on pourrait multiplier les coefficients par les ppcm de leur dénominateurs pour se ramener au cas entier. On me dit que c'est pas une mauvaise idée, et avant ça on me fait remarquer que delta ne peut pas être le carré d'un rationnel.
L'exercice s'est arrêté plus ou moins à ce moment là, car je bloquais et qu'on avait passé pas mal de temps dessus (car j'avais déjà du réfléchir pas mal + être aidé avant d'en arriver à ce stade...)
-Vous dites que la somme et le produit d'algébriques est algébrique, montrez-le.
Question de cours, donc. Bon ça j'ai su faire, l'idée est de se servir de la formule des degrés :
si a et b sont algébriques sur K, alors on va mq K(a,b) est de degré fini sur K, ça permettra de conclure car il contient a+b et ab
Or K(a,b)=K(a)(b) donc [K(a,b) : K]=[K(a)(b) : K(a)] [K(a) : K]. a est algébrique sur K donc le crochet de droite est fini
b est algébrique sur K et donc sur K(a) aussi (puisque K(a) contient K), donc le crochet de gauche est fini.
Donc on a bien l'extension K(a,b) qui est finie, donc algébrique.
L'oral s'est terminé là dessus.
