Développement : Lemme de Sperner et théorème de Monsky

Détails/Enoncé :

On démontre le lemme de Sperner sur les tri-colorations d'une triangulation d'un polygône, et on en déduit le théorème de Monsky : si on découpe un carré en $n$ triangles de même aire, alors $n$ est pair.
Cela se fait en étendant la valuation 2-adique de $\mathbb{Q}$ à $\mathbb{C}$ (ou si on veut raisonner constructivement, à une extension de type fini de $\mathbb{Q}$) pour définir une tri-coloration du plan, qui induit une tri-coloration de la triangulation considérée du carré. Le lemme de Sperner donne l'existence d'un triangle tricolore, ce qui permet de conclure.

Recasages pour l'année 2024 :

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