Leçon 121 : Nombres premiers. Applications.

(2017) 121
(2019) 121

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Le sujet de cette leçon est très vaste. Aussi les choix devront être clairement motivés. La réduction modulo p n’est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important qu’il faudrait citer. Sa démonstration n’est bien sûr pas exigible au niveau de l’agrégation. Quelques résultats sur les corps finis et leur géométrie sont les bienvenus, ainsi que des applications en cryptographie.

(2016 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Le sujet de cette leçon est très vaste. Aussi les choix devront être clairement motivés. La réduction modulo p n’est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important qu’il faudrait citer. Sa démonstration n’est bien sûr pas exigible au niveau de l’agrégation. Quelques résultats sur les corps finis et leur géométrie sont les bienvenus, ainsi que des applications en cryptographie.
(2015 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Il s'agit d'une leçon pouvant être abordée à divers niveaux. Il y a tant à dire sur la question que le candidat devra fatalement faire des choix. Attention toutefois à celui des développements, ils doivent être pertinents ; l'apparition d'un nombre premier n'est pas suffisant ! La réduction modulo p n'est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important, qu'il faudrait citer. Sa démonstration n'est bien sûr pas exigible au niveau de l'agrégation. Quelques résultats sur les corps finis et leur géométrie sont les bienvenus, ainsi que des applications en cryptographie.
(2014 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Il s'agit d'une leçon pouvant être abordée à divers niveaux. Attention au choix des développements, ils doivent être pertinents (l'apparition d'un nombre premier n'est pas suffisant !). La réduction modulo $p$ n'est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important, qu'il faudrait citer. Sa démonstration n'est bien-sûr pas exigible au niveau de l'Agrégation. Quelques résultats sur la géométrie des corps finis sont les bienvenus.

Développements :

Plans/remarques :

2018 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


2017 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


2016 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


2015 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Chevalley-Warning

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury attentif pendant le plan et le développement, pas de questions sur le développement.
    Questions :
    - pourquoi est-ce qu'il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans $\mathbb{F}_q$ ? (parce que $\mathbb{F}_{q^n}^{\times}$ étant cyclique, $\mathbb{F}_{q^n}$ est une extension monogène de $\mathbb{F}_q$, il suffit de prendre le polynôme minimal d'un générateur)
    - trouver une condition nécessaire pour que $2^n-1$ soit premier (réponse : $n$ premier).
    - si G est un groupe tel que l'action naturelle de $\mathrm{Aut}(G)$ sur $G$ n'a que deux orbites, que peut-on dire de $G$ ? (réponse : $G$ est un p-groupe abélien isomorphe à un certain $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$. Pour cela, montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe caractéristique pour obtenir que $G=Z(G)$, puis constater que tous les éléments non triviaux de $G$ sont de même ordre, qui est donc nécessairement premier et finir en utilisant le théorème de structure des groupes abéliens finis ou en remarquant que $G$ peut être vu comme un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel).
    - quelle est la structure du groupe $(\mathbb{F}_q,+)$ ? (réponse : idem.)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des trois membres du jury posait essentiellement toutes les questions et les autres essayaient d'aider ou posaient de petites questions sur le plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un peu surpris par l'absence de question sur le plan, mais sinon j'aimais bien cette leçon.

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1. Pouvez-vous rapidement montrer que les sous-groupes finis de $\textrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont conjugués à des sous-groupes de $O(n)$?
    2. Démontrer le théorème de Gauss-Lucas.
    3 L'intérieur d'un convexe est-il toujours convexe ? Si oui, pourquoi ?
    4. Quels sont les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les trois membres du jury étaient attentifs et intervenaient régulièrement pour me questionner, mais aussi me guider dans la difficulté.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques précisions sur le développement ont été demandées.
    Ensuite on m'a donné des exercices en lien avec le théorème de Wilson et son utilisation.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était globalement là pour aider et faire avancer la discussion.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Montrer que 561 est de Carmichael sans la caractérisation explicite (Réponse : Regarder les $a^{561}$ mod(3),mod(11),mod(17) + Th chinois)
    -Montrer que la définition du n-ième polynôme cyclotomique dans $\mathbb{C}$ et dans $\mathbb{\F_p}$ (p premier à n) coïncident. (Réponse : Utiliser la relation $\Pi_{d|n} \Phi_d = X^n-1$ )
    -Montrer que pour p premier à n, les facteurs de $\Phi_n$ dans $\mathbb{\F_p}$ sont de degré égal à l'ordre de p dans $(Z/nZ)^x$. (Réponse : Prendre un facteur irréductible, regarder le corps de rupture, et raisonner sur le degré de l'extension car on doit avoir $p^m \equiv 1$ mod(n) )
    -Montrer que si $(Z/nZ)^x$ est cyclique, il existe un p premier générateur de ce groupe. (Réponse : Utiliser le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.)
    -Montrer que si P,Q $\in \mathbb{Z}[X]$ unitaires sont de pdcd $\neq$ 1 dans $\mathbb{C}[X]$, c'est encore le cas dans $\mathbb{Z}[X]$ (Réponse : On a le résultat dans $\mathbb{Q}[X]$ par contrapposée, puis on utilise le Lemme de Gauss et le contenu pour trouver un diviseur dans $\mathbb{Z}[X]$ de P.)
    -Donner un bon algorithme déterministe de primalité (Réponse : Algorithme AKS)
    -Expliquer "méthode de Monte-Carlo" (Réponse : Algorithme utilisant de la génération aléatoire, qui répond en temps fini, qui a toujours raison s'il répond "Non", mais qui a une probabilité d'erreur s'il répond "Oui". Ex : Test de Miller-Rabin pour savoir si n n'est pas premier.)
    -Expliquer le test de Miller-Rabin (Réponse : Utiliser k variables aléatoires de loi uniforme sur $\{1,..,n-1\}$ et tester si les entiers générés sont témoins de Miller-Rabin de n ou non.)
    -Donner la complexité du test de primalité naïf (Réponse : $O( exp(1/2.log_2(n)) )$, donc exponentiel )
    -Expliquer les calculs de chiffrement du RSA + donner la complexité (Réponse : Exponentiation binaire dans Z/nZ, O(log(e)) produits dans Z/nZ. )
    -Est-ce que casser RSA <-> Résoudre le problème de factorisation n=pq ? (Réponse : On ne sait pas)
    -Comment retrouver d avec (p-1)(q-1) et e. (Réponse : Euclide étendu)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant dans le fond.
    L'un des membres a fait toutes les questions concernant l'algorithme RSA et la complexité.
    Sinon, ils m'ont aidé à remettre les idées de mon développement en ordre (j'avais oublié le bon ordre pour les utiliser).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Plan de rêve, préparation tranquille. Mais j'ai quand même réussi à mélanger l'ordre des idées de mon développement, ce qui m'a attristé car c'était un développement tout simple. (Remarque : En ayant mélangé tous mes arguments, mais en étant capable de me corriger à chaque erreur de logique, j'ai quand même eu 5/6 au développement. La bienveillance était donc de mise.)

  • Note obtenue :

    19


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Proofs from the book (Raisonnements divins en fr), Aigner, Ziegler (utilisée dans 9 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 433 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 333 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 23 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 142 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Elements d'analyse et d'algèbre , Colmez (utilisée dans 17 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)