Leçon 121 : Nombres premiers. Applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Il s'agit d'une leçon pouvant être abordée à divers niveaux. Attention au choix des développements, ils doivent être pertinents (l'apparition d'un nombre premier n'est pas suffisant !). La réduction modulo $p$ n'est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important, qu'il faudrait citer. Sa démonstration n'est bien-sûr pas exigible au niveau de l'Agrégation. Quelques résultats sur la géométrie des corps finis sont les bienvenus.

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Développements :

• Théorème de Dirichlet (fort)
• Groupes d'ordre pq
• Théorème de Dirichlet faible
• Nombres de Carmichael et théorème de Korselt
• Théorème de Sophie-Germain
• Test de Miller-Rabin
• Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)
• Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
• Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux
• Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq
• Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
• Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)
• Théorème de Gauss (polygones constructibles)
• Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
• Théorème de Frobenius-Zolotarev
• Théorème de Chevalley-Warning
• Algorithme de Berlekamp
• Galois inverse

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :