Développement : Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)

Détails/Enoncé :

Soit $G$ un groupe fini et $p$ premier tel que $|G| = p^a m$ avec $a$ un entier non nul et $m$ premier à $p$. On note $n_p$ le nombre de $p$-Sylow de $G$. Alors $n_p$ est non nul et divise $m$. De plus $n_p = 1 [p]$ et tous les $p$-Sylow sont conjugés.

Ce développement présente une démonstration de ce théorème à l'aide du principe de récurrence. Il existe une autre démonstration utilisant des actions de groupes.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Démonstration du théorème par récurrence, provient de Gourdon. Voir aussi ma deuxième version (basée sur la démo de Wielandt).
    Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai repris une grosse partie de la version de Golaretuf.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Dév pas costaud, il suffit de bien poser les choses et il se fait bien.

    Je fais d'abord le théorème de Cauchy, puis un théorème d'existence de groupes dont l'ordre est une puissance de p que j'ai appelé premier théorème de Sylow. Cela peut faire peur car Sylow est hors programme, mais ce résultat n'est pas le théorème de Sylow dans son intégralité...
  • Références :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 349 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 66 versions au total)