Leçon 101 * : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

(2016) 101
(2018) 101

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l’action de groupe : l’approche naturelle et l’approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l’ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide). S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{F}_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront en déterminer le caractère.

(2016 : 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide). S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $PGL( 2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront facilement en déterminer le caractère.
(2015 : 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.) Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fni, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des fonctions, voire des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL( 2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. Enfin, on pourra noter que l'injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations dont il est facile de déterminer le caractère.
(2014 : 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.) Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL(2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2, 3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. Enfin, on pourra noter que l'injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations dont il est facile de déterminer le caractère.
(2013 : 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.) Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL(2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2, 3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes.

Plans/remarques :

2017 : Leçon 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.


2016 : Leçon 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.


2015 : Leçon 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Base de Burnside

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Qqs questions sur le développement:
    -pourquoi G/H abélien <=> D(G)inclus dans H
    -pourquoi G/H isomorphe à Z/pZ
    Surtout des questions sur le plan :
    -qu'est-ce qu'une action n-2 transitive
    -démo des isomorphismes exceptionnels (en particulier PSl(2,F3)=A4)
    -j'avais parlé de représentation par permutation donc ils m'ont demandé de refaire la table de S4 en gros
    -pourquoi la somme des carrés des degrés vaut le cardinal du groupe ?
    -un seul exercice : action de On par congruence sur Sn++, quels sont les invariants ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillants, ils sont là pour qu'on donne le meilleur de nous-mêmes.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu de la chance sur le tirage. Les examinateurs ne vont pas chercher la petite bête et vérifient surtout si vous connaissez ce que vous avez mis dans le plan. Il faisait 33°C à Lille à ce moment là (premier jour) donc c'était épuisant.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.