Développement : Dénombrement des colorations du cube

Détails/Enoncé :

Deux colorations des faces d'un cube sont les mêmes si on peut passer de l'une à l'autre par une isométrie du dodécaèdre.
Si on s'autorise $c$ couleurs, combien y a t'il de colorations différentes ?
La réponse :
\[
\frac{c^2}{24} ( c^4 + 3c^2 + 12c + 8 )
\]

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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  • Remarque :
    Une preuve bien écrite ainsi qu'une introduction à la notion de polytopes et faces est disponible dans le isenmann pecatte. Les polytopes/faces sont un bagage nécessaire pour être capable de formaliser entièrement la preuve. Cependant, le développement ne contient pas de polytopes ni de faces, à part dans le sens intuitif (vous savez ce qu'est un cube, une face et une arête ? alors c'est bon !).

    La formule de Burnside est prouvée dans le bouquin mais vous n'aurez probablement pas le temps de la prouver dans le développement, et ce n'est pas grave.
  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 108 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)