Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Lors du développement (14’40”) j’ai démontré les 4 points suivants (où G est un groupe de cardinal p^α m) :
1. Existence d’un p-Sylow,
2. Un p-sous-groupe est toujours inclus dans un p-Sylow,
3. Les p-Sylow sont deux à deux conjugués, donc il y en a un unique si, et seulement si, il est distingué,
4. Leur nombre k vérifie k ≡1 mod p et k|m.
Questions sur le développement :
— Dans le premier point, vous utilisez Stab(aS) = aSa^−1. Expliquez-nous cette égalité. Je l’ai démontré par double inclusion.
— Dans le quatrième point, pourquoi T est distingué dans N ? On fixe S un p-Sylow et on considère T tel que ∀s ∈ S, sTs^−1 = T. On pose N =< S,T >. Soit H = {n ∈ N, nTn^−1 = T}, alors H est un groupe (à bien justifier, le jury m’attendait sur le fait que H est stable par inverse) contient S par hypothèse, mais aussi T. Donc H = N, c’est-à-dire T distingué dans N.
Questions, exercices :
— Déterminer les p-Sylow de S4. On a 24=2^3 * 3. On commence par les 3-Sylow. Ce sont des groupes d’ordre 3. Comme les seuls éléments de S4 d’ordre 3 sont les 3-cycles (au nombre de 8), on a quatre 3-Sylow : (< σi >)1≤i≤4, avec σ1,σ1^- 1 ,σ2,σ2^-1 ,σ3,σ3^-1 ,σ4,σ4^-1 les huit 3-cycles. Pour les 2-Sylow je sais que c’est plus dur. Soit G un 2-Sylow. Notons V4 le groupe engendré par les doubles transpositions. Indication du jury : montrez que G contient V4, une transposition et un 4-cycle. Soit τ une transposition, par le point 2 du développement il existe H un 2-Sylow contenant < τ >. Comme G= σHσ^−1 (point 3 du développement), alors G contient la transposition στσ^−1. De même G contient un 4-cycle. Comme V4 est distingué dans S4 (à expliquer au jury) alors le même raisonnement donne V4 ⊆G. On s’est arrêté là avec le jury. Mais quelques calculs dans S4 montrent que les trois 2-Sylow sont :
— {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(24),(13)}
— {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1324),(1423),(12),(34)}
— {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1342),(1243),(14),(23)}
— Un produit de groupes cycliques est-il cyclique? Non. J’ai précisé dans le plan qu’il y a équivalence dans le théorème Chinois.
— Pourquoi Fq* est-il cyclique? J’ai proposé deux méthodes. La première utilise le théorème de structure des groupes cycliques permettant d’obtenir la formule n = somme sur d|n des ϕ(d). On conclut comme dans le Perrin (page 74). La seconde passe par le théorème de structure des groupes abéliens finis. On écrit Fq* isomorphe à Z/a1Z ×···× Z/arZ avec 2 ≤ ar|···|a1, de sorte que ∀x ∈ Fq*, x^a1 = 1. Ainsi Fq* ⊆{racines de X^a1 −1} de cardinal au plus a1 (on est sur un corps commutatif). D’où a1···ar = q−1≤ a1, donc a2 =···= ar =1. Finalement Fq* est isomorphe à Z/a1Z cyclique.
— Déterminer le groupe dérivé de GLn(k) pour k corps commutatif. Intérieurement je me dis que l’on peut avoir à faire à des groupes infinis, mais passons. Via le déterminant on a D(GLn(k)) inclus dans SLn(k). Je dis au jury que suivant l’hypothèse sur k on a égalité. Il est satisfait. (cela est vrai sauf si k =F2 et n =2)
— Trouver tous les groupes finis G tels que Aut(G)={Id}. Je pense tout de suite à Aut(Z/nZ) isomorphe à (Z/nZ)^× , de cardinal ϕ(n) (il m’ont demandé de redéfinir l’indicatrice d’Euler). Cela me permet de conclure que ϕ(n) = 1, c’est-à-dire n = 1 ou 2 (à expliquer au jury). Donc {1} et Z/2Z conviennent. On va montrer que c’est les seuls. Indication du jury : regardez les automorphismes intérieurs. En effet, pour tout g ∈G, l’application h |→ ghg^−1 vaut l’identité par hypothèse. Cela montre que G est abélien. Par le théorème de structure, on peut supposer G = Z/a1Z×···×Z/arZ. Si f ∈Aut(Z/a1Z), alors F :(xi mod ai)1≤i≤r |→ (f(x1 mod a1), x2 mod a2,··· , xr mod ar) est dans Aut(G), donc F=Id puis f=Id. Comme on a traité le cas cyclique au début on en déduit que a1 =1 ou 2, avec toujours 2≤ ar|···|a1. Si a1 =1,G={1}. Si a1 =2 on obtient l’existence de 1≤ s ≤ r tel que G est isomorphe à (Z/2Z)^s =F2^s, structure de F2-espace vectoriel. Dans ce cas GL_s(F2) ⊆ Aut(G) = {Id}. Finalement s =1 et G =Z/2Z. (lorsque s > 1, GL_s(F2) n'est pas trivial)
