Leçon 104 : Groupes finis. Exemples et applications.

(2018) 104

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.) Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ( $Z/nZ$, $\mathfrak{S}$, etc.) comme, par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu. Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent des exemples très naturels. On peut aussi étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux. S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ ou les groupes $GL_n(F_q)$.

(2016 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.) Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ($Z/nZ$, $\mathfrak{S}_n$, etc.) comme par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu. Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent des exemples très naturels dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux. S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ou les groupes $GL_n(F_q)$.
(2015 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.) On attend des candidats de savoir manipuler correctement les éléments de quelques structures usuelles ($\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ , $\mathfrak{S}_n$, etc.). Par exemple, proposer un générateur simple de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ voire tous les générateurs, calculer aisément un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d'ordre d'un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$ , $\mathfrak{S}_4$ , $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place. Il est utile de connaître les groupes diédraux, et pour les candidats aguerris, les spécificités de groupes plus exotiques comme le groupe quaternionique. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
(2014 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.) Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $A_4$ , $S_4$ , $A_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu. On attend des candidats de savoir manipuler correctement les éléments de quelques structures usuelles ($Z/nZ$, $ S_n$, etc.). Par exemple, proposer un générateur simple de $(Z/nZ, +)$ voire tous les générateurs, calculer aisément un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à support disjoint. Il est important que la notion d'ordre d'un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples.

Développements :

Plans/remarques :

2018 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.


2017 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.


2016 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.


2015 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Que des questions portant sur mon plan, mes développements, ce que j'ai dis dans ma défense.

    Suite au théorème de structure des groupes abéliens finis :
    -qu'en est-il de l'unicité? (je ne prouve que l'existence)
    -le faire sur un exemple: Z/36Z x Z/45Z x Z/60Z

    Par rapport à la transformée de Fourier discrète:
    -qu'est-ce que la Fast Fourier Transform?
    -comment multiplier des polynômes avec?
    -peut-on généraliser les caractères? (y a t'il une théorie des caractères?)

    Sur Sn :
    -pouvez-vous donner un système minimal de générateurs?
    -que dire en général sur le cardinal d'un famille génératrice pour un groupe fini quelconque?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas cassant mais pas sympathique non plus, aidant juste ce qu'il faut.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oral qui s'est plutôt bien passé, juste 2 surprises:
    -on a des tableaux blancs à marqueur
    -pas mal d'aller-retours et de bruit pendant la préparation

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    A noter, des questions sur le groupe symétrique que je n'avais pas mis dans le plan.

    Prouver le lemme que j'avais admis dans mon développement (c'est à dire le lemme du Goblot). Trois preuves différentes du fait que $\Gamma$ (voir le Goblot, à nouveau) est un groupe.

    La réciproque du théorème chinois est-elle vraie ? Le démontrer.

    Montrer qu'un sous-groupe fini de $SL_2(\mathbb{R})$ est cyclique (avec des indications).

    Où ai-je utilisé le groupe symétrique dans mon plan ? (dans l'étude des groupes de Sylow)

    Donner les p-Sylow du groupe symétrique d'ordre 4.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    15.75