Leçon 104 : Groupes finis. Exemples et applications.

(2018) 104

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.) Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ( $Z/nZ$, $\mathfrak{S}$, etc.) comme, par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu. Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent des exemples très naturels. On peut aussi étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux. S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ ou les groupes $GL_n(F_q)$.

(2016 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.) Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ($Z/nZ$, $\mathfrak{S}_n$, etc.) comme par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu. Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent des exemples très naturels dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux. S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ou les groupes $GL_n(F_q)$.
(2015 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.) On attend des candidats de savoir manipuler correctement les éléments de quelques structures usuelles ($\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ , $\mathfrak{S}_n$, etc.). Par exemple, proposer un générateur simple de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ voire tous les générateurs, calculer aisément un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d'ordre d'un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$ , $\mathfrak{S}_4$ , $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place. Il est utile de connaître les groupes diédraux, et pour les candidats aguerris, les spécificités de groupes plus exotiques comme le groupe quaternionique. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
(2014 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.) Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $A_4$ , $S_4$ , $A_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu. On attend des candidats de savoir manipuler correctement les éléments de quelques structures usuelles ($Z/nZ$, $ S_n$, etc.). Par exemple, proposer un générateur simple de $(Z/nZ, +)$ voire tous les générateurs, calculer aisément un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à support disjoint. Il est important que la notion d'ordre d'un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples.

Développements :

Plans/remarques :

2019 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    On peut à mon avis développer la section sur le groupe symétrique.
    Je n'ai pas mis le Perrin. Comme quoi, on peut faire un plan de groupes sans lui.
  • Fichier :

2018 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.


2017 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.


2016 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.


2015 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur la loi de la réciprocité quadratique : idée de la preuve de la classification des formes quadratiques sur un corps fini, l'histoire de l'hyperplan affine pour le dénombrement.
    Questions sur le plan : donner un exemple de groupe toujours abélien, j'ai dit les groupes d'ordre p^2, ils m'ont demandé de le montrer.
    Exercices : 1. Si on prend une permutation qui s'écrit comme produit de r transpositions à supports disjoints dans Sn, je devais dénombrer le nombre de permutations de Sn qui commutaient avec, c'était quelque chose comme r!(n-r)!2^r
    2. Dans Sp, p premier, combien y-a-t-il de sous groupe d'ordre p ? (p-2)!

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury bienveillant, patient lorsque je n'arrivais pas à répondre, sans pour autant me laisser m'éterniser sur ce que je n'arrivais pas du tout à faire

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je m'attendais à plus de questions sur la théorie des groupes, mais le jury a préféré suivre mon développement qui fait plutôt du dénombrement et donc mes questions étaient essentiellement du dénombrement. J'avais bien relu les preuves sur les p-groupes pendant la préparation, et ça n'a pas été inutile !

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Polya

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    C'était mon premier oral, j'étais très stressée donc je ne me rappelle plus très bien des questions. Celle à laquelle je n'ai pas pu répondre m'a marquée : en définitive il fallait donner l'ordre d'un élément de Z/nZ et je ne trouvais pas, ce qui me stressait, ce qui faisait que j'avais encore moins de chances de trouver... Du coup, conseil : révisez les résultats de base ! Je me rappelle quand même de trois autres questions, mais j'en ai eu environ sept au total : la première question toute bête (c'est un classique à l'agreg), en l'occurrence "Que donne le théorème de structure des groupes abéliens finis pour Z/15Z ?" (que Z/15Z est isomorphe à lui-même (et l'unicité de l'écriture comme dans le théorème)); j'ai aussi eu "Que pouvez-vous dire sur la structure du groupe alterné A_n ?" (que A_n est simple pour n=3 et n>=5 (mais pas pour n=4, cf. les doubles transpositions (avec l'identité))) et "Que dire de Phi qui va de [1,1] x ... x [1,n] (intervalles d'entiers) dans S_n qui à (a_1,...,a_n) associe (1 a_1) (1 a_2) ... (1 a_n) ?" (elle est bijective).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très poker face (alors qu'en général les jurys sont souriants), et qui a grimacé quand je n'ai pas réussi à donner l'ordre d'un élément de Z/nZ. Le jury a essayé de m'aider un peu mais ça n'a pas marché; j'ai eu l'impression de passer beaucoup de temps dessus, comme je bloquais complètement j'aurais préféré que le jury passe à autre chose (mais bon ça se comprend qu'ils s'attendent à ce que j'arrive à trouver l'ordre d'un élément de Z/nZ; c'est juste qu'avec le stress du jour J, on n'aime pas du tout bloquer sur un truc simple et on préférerait zapper).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le temps passe très très vite pendant la préparation; je trouvais mon plan très incomplet quand il était temps de le donner (c'est triste quand on a plein de choses à dire sur un sujet et qu'on n'en a dit qu'un tiers...). J'étais surprise que le jury ne soit pas plus encourageant (pendant les oraux blancs et après pendant les deux autres oraux que j'ai passés les jurys étaient toujours encourageants). Vu ma note le jury devait être plus content que ce qu'il laissait paraître.

  • Note obtenue :

    16.25

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Sylow (version opération de groupes)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Lors du développement (14’40”) j’ai démontré les 4 points suivants (où G est un groupe de cardinal p^α m) :
    1. Existence d’un p-Sylow,
    2. Un p-sous-groupe est toujours inclus dans un p-Sylow,
    3. Les p-Sylow sont deux à deux conjugués, donc il y en a un unique si, et seulement si, il est distingué,
    4. Leur nombre k vérifie k ≡1 mod p et k|m.

    Questions sur le développement :
    — Dans le premier point, vous utilisez Stab(aS) = aSa^−1. Expliquez-nous cette égalité. Je l’ai démontré par double inclusion.
    — Dans le quatrième point, pourquoi T est distingué dans N ? On fixe S un p-Sylow et on considère T tel que ∀s ∈ S, sTs^−1 = T. On pose N =< S,T >. Soit H = {n ∈ N, nTn^−1 = T}, alors H est un groupe (à bien justifier, le jury m’attendait sur le fait que H est stable par inverse) contient S par hypothèse, mais aussi T. Donc H = N, c’est-à-dire T distingué dans N.

    Questions, exercices :
    — Déterminer les p-Sylow de S4. On a 24=2^3 * 3. On commence par les 3-Sylow. Ce sont des groupes d’ordre 3. Comme les seuls éléments de S4 d’ordre 3 sont les 3-cycles (au nombre de 8), on a quatre 3-Sylow : (< σi >)1≤i≤4, avec σ1,σ1^- 1 ,σ2,σ2^-1 ,σ3,σ3^-1 ,σ4,σ4^-1 les huit 3-cycles. Pour les 2-Sylow je sais que c’est plus dur. Soit G un 2-Sylow. Notons V4 le groupe engendré par les doubles transpositions. Indication du jury : montrez que G contient V4, une transposition et un 4-cycle. Soit τ une transposition, par le point 2 du développement il existe H un 2-Sylow contenant < τ >. Comme G= σHσ^−1 (point 3 du développement), alors G contient la transposition στσ^−1. De même G contient un 4-cycle. Comme V4 est distingué dans S4 (à expliquer au jury) alors le même raisonnement donne V4 ⊆G. On s’est arrêté là avec le jury. Mais quelques calculs dans S4 montrent que les trois 2-Sylow sont :
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(24),(13)}
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1324),(1423),(12),(34)}
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1342),(1243),(14),(23)}

    — Un produit de groupes cycliques est-il cyclique? Non. J’ai précisé dans le plan qu’il y a équivalence dans le théorème Chinois.

    — Pourquoi Fq* est-il cyclique? J’ai proposé deux méthodes. La première utilise le théorème de structure des groupes cycliques permettant d’obtenir la formule n = somme sur d|n des ϕ(d). On conclut comme dans le Perrin (page 74). La seconde passe par le théorème de structure des groupes abéliens finis. On écrit Fq* isomorphe à Z/a1Z ×···× Z/arZ avec 2 ≤ ar|···|a1, de sorte que ∀x ∈ Fq*, x^a1 = 1. Ainsi Fq* ⊆{racines de X^a1 −1} de cardinal au plus a1 (on est sur un corps commutatif). D’où a1···ar = q−1≤ a1, donc a2 =···= ar =1. Finalement Fq* est isomorphe à Z/a1Z cyclique.

    — Déterminer le groupe dérivé de GLn(k) pour k corps commutatif. Intérieurement je me dis que l’on peut avoir à faire à des groupes infinis, mais passons. Via le déterminant on a D(GLn(k)) inclus dans SLn(k). Je dis au jury que suivant l’hypothèse sur k on a égalité. Il est satisfait. (cela est vrai sauf si k =F2 et n =2)

    — Trouver tous les groupes finis G tels que Aut(G)={Id}. Je pense tout de suite à Aut(Z/nZ) isomorphe à (Z/nZ)^× , de cardinal ϕ(n) (il m’ont demandé de redéfinir l’indicatrice d’Euler). Cela me permet de conclure que ϕ(n) = 1, c’est-à-dire n = 1 ou 2 (à expliquer au jury). Donc {1} et Z/2Z conviennent. On va montrer que c’est les seuls. Indication du jury : regardez les automorphismes intérieurs. En effet, pour tout g ∈G, l’application h |→ ghg^−1 vaut l’identité par hypothèse. Cela montre que G est abélien. Par le théorème de structure, on peut supposer G = Z/a1Z×···×Z/arZ. Si f ∈Aut(Z/a1Z), alors F :(xi mod ai)1≤i≤r |→ (f(x1 mod a1), x2 mod a2,··· , xr mod ar) est dans Aut(G), donc F=Id puis f=Id. Comme on a traité le cas cyclique au début on en déduit que a1 =1 ou 2, avec toujours 2≤ ar|···|a1. Si a1 =1,G={1}. Si a1 =2 on obtient l’existence de 1≤ s ≤ r tel que G est isomorphe à (Z/2Z)^s =F2^s, structure de F2-espace vectoriel. Dans ce cas GL_s(F2) ⊆ Aut(G) = {Id}. Finalement s =1 et G =Z/2Z. (lorsque s > 1, GL_s(F2) n'est pas trivial)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury bienveillant. Il faut absolument entretenir un dialogue entre vous et le jury. Même si vous bloquez, n'hésitez pas à lui proposer des pistes de réflexions, il vous guidera ensuite.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation :

    Pendant la préparation, je commence par réécrire mes développements (environ 45 min). Cela me permet de mettre ensuite dans mon plan les propriétés importantes intervenants dans les deux preuves. Il est préférable d’assurer 15 min de sa présentation que de vouloir rajouter une nième propriété que le jury ne lira sans doute pas. Ensuite, j’écris et j’apprends les preuves de mon plan pendant 2h. Puis il me reste un peu moins de 10 min pour relire mes développements, le temps qu’ils fassent les photocopies. Pour la défense du plan, je rédige les deux premières phrases qui me permettront de me lancer devant le jury. Je termine d’y réfléchir entre la salle de préparation et la salle de passage.

    Passage :

    Lors de la défense du plan, mettez-y du cœur et utilisez le tableau. J'ai l'impression que c'est très apprécié.
    Développement réalisé sur un grand tableau à feutre. Quand on a bien répété nos dev il n'y a pas de surprise à avoir, notamment sur les questions. Si vous choisissez tel ou tel dev, aucun doute ne doit transparaître lors de la présentation. Pendant l'année, faites les questions / exercices associés à vos dev.
    Dans mon plan (disponible sur le site) j'ai fait une dernière partie "géométrie". Aucune questions sur ce sujet.

  • Note obtenue :

    18.75


2015 : Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Que des questions portant sur mon plan, mes développements, ce que j'ai dis dans ma défense.

    Suite au théorème de structure des groupes abéliens finis :
    -qu'en est-il de l'unicité? (je ne prouve que l'existence)
    -le faire sur un exemple: Z/36Z x Z/45Z x Z/60Z

    Par rapport à la transformée de Fourier discrète:
    -qu'est-ce que la Fast Fourier Transform?
    -comment multiplier des polynômes avec?
    -peut-on généraliser les caractères? (y a t'il une théorie des caractères?)

    Sur Sn :
    -pouvez-vous donner un système minimal de générateurs?
    -que dire en général sur le cardinal d'un famille génératrice pour un groupe fini quelconque?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas cassant mais pas sympathique non plus, aidant juste ce qu'il faut.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oral qui s'est plutôt bien passé, juste 2 surprises:
    -on a des tableaux blancs à marqueur
    -pas mal d'aller-retours et de bruit pendant la préparation

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    A noter, des questions sur le groupe symétrique que je n'avais pas mis dans le plan.

    Prouver le lemme que j'avais admis dans mon développement (c'est à dire le lemme du Goblot). Trois preuves différentes du fait que $\Gamma$ (voir le Goblot, à nouveau) est un groupe.

    La réciproque du théorème chinois est-elle vraie ? Le démontrer.

    Montrer qu'un sous-groupe fini de $SL_2(\mathbb{R})$ est cyclique (avec des indications).

    Où ai-je utilisé le groupe symétrique dans mon plan ? (dans l'étude des groupes de Sylow)

    Donner les p-Sylow du groupe symétrique d'ordre 4.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    15.75