Développement : Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Détails/Enoncé :

La loi de réciprocité quadratique stipule que

$$ \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{ \frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2} } $$

où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers impairs.

Ce développement propose une démonstration utilisant classification des formes quadratiques sur un corps finis.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

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    Lien de la vidéo Youtube que j'ai faite sur ce développement :
    https://www.youtube.com/watch?v=8w25x8a9a6c
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    Recasages: 121, 123, 190
    Je ne la mets pas dans la 170, car l'intervention des formes quadratiques prend vraiment 1 ligne sur toute la preuve; ce serait un recasages scandaleusement abusif.

    Je me suis inspiré du document de abarrier, j'y ai apporté quelques précisions.

    Rombaldi [2e édition] p 431


    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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    Personnellement, j'ai recasé ce développement dans 120,121 et 170. Il rentre aussi dans la 101 et peut-être dans autre chose... à voir... On peut démontrer la loi de réciprocité quadratique autrement, sans passer par les formes quadratiques, mais ça fait un bon recasage dans 170.
    Je n'avais pas le temps de traiter le lemme dans les 15 minutes.

    Ce développement demande de pas mal le travailler, surtout si comme moi vous ne connaissiez pas du tout ce résultat avant la prépa agreg. La démonstration est dans la référence mais celle-ci passe sous silence pas mal de justifications qui me semble nécessaires et que j'ai détaillées.
    Je recommande de savoir appliquer cette loi : faire quelques petits exercices de calcul de symboles de Legendre avec des grands nombres. Il existe aussi une loi similaire lorsque $p=2$ mais la démonstration est beaucoup plus difficile.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 68 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 509 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 152 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 440 versions au total)