Leçon 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

(2014) 170
(2016) 170

Dernier rapport du Jury :

(2015 : 170 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.) Il faut tout d'abord noter que l'intitulé implique implicitement que le candidat ne doit pas se contenter de travailler sur R . Il faut savoir que les formes quadratiques existent sur le corps des complexes et sur les corps finis et il faut savoir les classifier. On ne doit pas oublier l'interprétation géométrique des notions introduites (lien entre coniques, formes quadratiques, cônes isotropes) ou les aspects élémentaires (par exemple le discriminant de l'équation $ax^2 + bx + cy^2 = 0$ et la signature de la forme quadratique $ax^2 + bxy + cy^2$ ). On ne peut se limiter à des considérations élémentaires d'algèbre linéaire. Les formes quadratiques ne sont pas toutes non dégénérées (la notion de quotient est utile pour s'y ramener). L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être pratiqué sur une forme quadratique de lien avec la signature doit être clairement énoncé. Malheureusement la notion d'isotropie est mal maîtrisée par les candidats, y compris les meilleurs d'entre eux. Le cône isotrope est un aspect important de cette leçon, qu'il faut rattacher à la géométrie différentielle. Il est important d'illustrer cette leçon d'exemples naturels.

(2014 : 170 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.) Le candidat ne doit pas se contenter de travailler sur $R$. Il faut savoir que les formes quadratiques existent sur le corps des complexes et sur les corps finis et savoir les classifier. On ne doit pas négliger l'interprétation géométrique des notions introduites (lien entre coniques, formes quadratiques, cônes isotropes) ou les aspects élémentaires (par exemple le discriminant de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ et la signature de la forme quadratique $ax^2 + bxy + cy^2$). On ne peut se limiter à des considérations élémentaires d'algèbre linéaire. Les formes quadratiques ne sont pas toutes non dégénérées (la notion de quotient est utile pour s'y ramener). L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être pratiqué sur une forme quadratique de $R^3$ . Le lien avec la signature doit être clairement énoncé. Malheureusement la notion d'isotropie est mal maîtrisée par les candidats, y compris les meilleurs d'entre eux. Le cône isotrope est un aspect important de cette leçon, qu'il faut rattacher à la géométrie différentielle. Il est important d'illustrer cette leçon d'exemples naturels.

Développements :

Plans/remarques :

2015 : Leçon 170 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 170 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    sous quelles conditions sur la forme quadratique q a-t-on l'égalité en F et son double orthogonal (pour la forme q) ?

    on considère la forme quadratique réelle qui a une matrice A associe Tr(A^2). Est elle dégénérée ? quel est son cône nilpotent ? (j'ai donné des exemples qui montraient qu'il n'était pas vide, mais je n'ai pas su le caractériser, le jury a vite abandonné cette question). quelle est sa signature ? (je n'ai traité que la dimension 2, puis j'ai dit que ça se généralisait mais le jury m'a directement mis sur une autre question).

    Puis : comment enseigneriez-vous cette matière à des élèves de niveau L2 ? et comment l'exposeriez vous à un public non spécialiste, par exemples des physiciens ? J'ai répondu qu'il fallait insister sur la représentation polynomiale, l'interprétation géométrique avec les coniques, le jury a eu l'air d'approuver.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    jury qui ne donne pas d'indices mais qui est assez réactif aux propositions

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu une hésitation dans mon développement, parce que j'ai écrit de manière trop dégueulasse et qu'un a s'est transformé en q, mais j'ai su me rattraper.. le jury avait du mal à comprendre le développement, j'ai du réexpliquer plusieurs points qui étaient pourtant assez simples. L'un des 3 membres a été complètement muet, les autres n'avaient pas l'air de se sentir très concernés par le sujet..

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    156 : Exponentielle de matrices. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des exercices et des questions sur le plan : il y avait 5 résultats dans mon plan qui étaient des dl classiques ils m'ont demandé de donner les idées de démos des 3 que je n'ai pas proposés (lemme de morse, réduction des formes quadratiques sur un corps fini et ss-groupes compacts de Gln).

    - Montrer que l'ensemble des classes de congruence des matrices symétriques est fini ssi K*/K*^2 est fini
    - Montrer que l'ensemble des formes quadratiques de signature p,q est un ouvert
    - Est ce que vous connaissez un résultat général sur la réduction de formes quadratiques ? (ils voulaient le théorème de Witt que je ne connaissais que de nom)
    - Montrer que O(q) est un groupe. Dans le cas réel, quand ce groupe est-il compact ?


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury vraiment sympa qui s'excuse quand il pose une question un peu bête, qui acquiesce dès que je pars dans la bonne direction et qui aide quand je bloque. L'oral était principalement guidé par Tosel.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un oral qui ressemblait plus que d'habitude à notre préparation, des résultats du plan à démontrer ou expliquer.

  • Note obtenue :

    18


Références utilisées dans les versions de cette leçon :