Développement : Classification des formes quadratiques sur Fq

Détails/Enoncé :

Soit $\mathbb{F}_q$ un corps fini de caractéristique différente de $2$. Soit $E$ un $\mathbb{F}_q$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $a \in \mathbb{F}_q^*$ qui ne soit pas un carré. Il y a alors deux classes d'équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur $E$. Leur matrice dans une base adaptée est $I_n$ ou $\mathsf{diag} ( 1 ,\ldots , 1 , a)$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Un très joli développement, qui mêle plein de sujets différents : formes quadratiques, corps finis et dénombrement. Il n'est pas spécialement difficile, et fait revoir le dénombrement des carrés de Fq. Le développement passe très bien dans le temps imparti, en expliquant bien les choses. La récurrence n'est pas trop pénible. Je pense qu'il est préférable de passer du temps sur l'initialisation dans le cas n = 2, et l'hérédite ne sera alors qu'une généralisation pratiquement directe. Je recommande ce développement ! Côté recasages à mon avis:

    Corps finis
    Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
    Problèmes de dénombrement (nombre de carrés dans Fq + principe des tiroirs pour la preuve du lemme)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 434 versions au total)