Développement : Classification des formes quadratiques sur Fq

Détails/Enoncé :

Soit $\mathbb{F}_q$ un corps fini de caractéristique différente de $2$. Soit $E$ un $\mathbb{F}_q$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $a \in \mathbb{F}_q^*$ qui ne soit pas un carré. Il y a alors deux classes d'équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur $E$. Leur matrice dans une base adaptée est $I_n$ ou $\mathsf{diag} ( 1 ,\ldots , 1 , a)$.

Recasages pour l'année 2026 :

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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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    Un très joli développement, qui mêle plein de sujets différents : formes quadratiques, corps finis et dénombrement. Il n'est pas spécialement difficile, et fait revoir le dénombrement des carrés de Fq. Le développement passe très bien dans le temps imparti, en expliquant bien les choses. La récurrence n'est pas trop pénible. Je pense qu'il est préférable de passer du temps sur l'initialisation dans le cas n = 2, et l'hérédite ne sera alors qu'une généralisation pratiquement directe. Je recommande ce développement ! Côté recasages à mon avis:

    Corps finis
    Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
    Problèmes de dénombrement (nombre de carrés dans Fq + principe des tiroirs pour la preuve du lemme)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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    Un développement pas si difficile que ça, mais qui déploie pas mal d'arguments divers et qui est très sympathique à mener. Un avantage non négligeable qu'il a pour l'agreg, c'est qu'en plus de répondre au problème de classification des matrices symétriques à coefficients dans un corps fini sous l'action de congruence du groupe linéaire, il fournit au passage une méthode algorithmique pour déterminer pratiquement les orbites, si vous savez manipuler les outils d'étude des carrés dans les corps finis (j'ai ajouté des remarques à ce sujet dans le poly ; notez que c'est nettement plus exigeant sur le plan théorique dans les corps finis qui ne sont pas de cardinal premier).
    Côté recasage, je ne le mets personnelement que dans la 170 (je l'ai pris pour boucher un trou) mais je pense qu'il est plus que raisonnable de le mettre dans la 123. La 148 me semble acceptable car il y a le côté récurrence sur la dimension plus le passage où il faut justifier qu'un hyperplan est effectivement un hyperplan pour y appliquer l'hypothèse de récurrence, mais c'est plus léger. Il est également envisageable de le mettre dans la 101 en insistant bien sur le côté "classification des orbites de congruence", mais je pense qu'il vaut mieux le laisser en item du plan plutôt qu'en développement car il ne mobilise aucun résultat propre aux actions de groupes. Quoi qu'il en soit, ça devrait au moins enrichir les applications à mettre dans les plans, et ça c'est toujours bon à prendre !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 514 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 632 versions au total)