(2019 : 150 - Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.)
Le choix des exemples doit être fait avec soin, en évitant de présenter des actions dont on ne maîtrise pas les bases. $\\$ Dans un premier temps, il faut présenter différentes actions (translation à gauche, congruence,similitude, équivalence, ...) et quelques orbites. Dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants simples (matrices échelonnées réduites, rang...) et d’autre part des algorithmes, comme le pivot de Gauss. On peut détailler le cas particulier de l’action de $O_n(\textbf{R})$ sur S_n($\textbf{R})$. $\\$ Les candidats peuvent s’intéresser au fait que les polynômes caractéristiques et minimaux ne suffisent pas à caractériser les classes de similitudes. Dans le cas de l’action par congruence, le théorème de Sylvester et son interprétation en termes de changements de bases méritent de figurer dans la leçon. Il est possible de limiter l’action aux matrices de produits scalaires et de caractériser les éléments des stabilisateurs. Si l’on veut aborder un aspect plus théorique, il est possible de faire apparaître à travers différentes actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le développement s'est bien passé, j'ai pris exactement 15 minutes.
Questions sur le développement : où interviens précisément le fait que p est premier impair ? Rappeler la formule qui lie le cardinal du groupe et le cardinal des orbites. Comment démontre-t-on cette formule ?
Questions sur le plan :
Avec Frobenius vous dites qu'on peut montrer que si deux matrices sont semblables dans un sur-corps alors elles sont semblables. Frobenius c'est un peu compliqué, vous savez comment on peut le démontrer dans le cas particulier où les corps sont R et C ? Là je dis oui et je fais la démo avec le déterminant.
- Est ce qu'on peut généraliser cette méthode ?
- Oui pour une extension finie.
- Seulement finie ?
- On s'y ramène on considérant le corps engendré par les coefficients de la matrice.
- Ok très bien mais ça marcherait pas dans quel cas ?
- Euhhhh je sais pas ... J'ai l'impression que ça marche tout le temps ...
- Regardez bien votre démonstration avec le déterminant !
- Ah oui ça marcherait pas sur des corps finis.
- C'est ça ; pour les corps finis on a besoin de Frobenius.
D'ailleurs en parlant de Frobenius, comment vous montrez votre lemme truc (c'est le lemme qu'on a besoin pour montrer Frobenius qui dit qu'il existe un polynôme annulateur ponctuel en x exactement égal au polynôme annulateur). Je commence à le démontrer, après deux trois lignes il me dit "ok c'est bien, je vais vous proposer une autre méthode"). Il me fait faire une autre démo que je connaissais aussi avec des réunions de noyaux, mais je lui ai fait remarqué à la fin que ça marchait pas sur les corps finis (une nouvelle fois lol).
Comment vous montrez que deux endomorphismes diagonalisables qui commutent sont co-diagonalisables ?
- Alors il y a deux preuves, une un peu chiante où on montre que les sous espaces propres de l'un sont stables par l'autre et on montre que la restriction à un espace stable d'un endomorphisme diagonalisable reste diagonalisable ... (il me coupe)
- Et ça se démontre comment ? (je réponds il me dit ok)
- Mais moi je préfère la démo où on fait une récurrence sur la dimension de l'espace car on a pas besoin de démontrer ces deux propriétés.
- Montrez moi.
- (Je fais la démo ... ) Ah ouais, en fait on a besoin de montrer les mêmes propriétés ....
- Oui ...
- Bon au moins la récurrence permet de démontrer le résultat pour un nombre quelconque d'endomorphismes.
- C'est vrai.
On va passer aux exercices : Quel est le stabilisateur de l'identité pour l'action de congruence ? (j'ai pas compris l'intérêt de la question, la personne qui m'a posé la question m'a dit ok quand j'ai donné la réponse mais à mon avis elle s'est trompée dans son énoncé d'exercice car là il n'y avait vraiment rien à faire ...)
Ensuite lors des dix dernières minutes on m'a donné un gros exercice en me guidant avec des questions : montrer que tout sous algèbre des matrices complexes telle que tous ses éléments sont diagonalisables est commutative. C'était assez laborieux, il y avait une récurrence à faire pour avoir une expression avec des nilpotentes et des trucs dont je me souviens plus.
Le jury est très sympathique, il fait remarquer gentiment quand on dit des bêtises ou quand on oublie une hypothèse.
On a un peu moins de trois heures pour préparer. Sinon RAS.
15
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Au départ quelques questions pour préciser mon développement; il y avait deux notions de continuité avec le polynôme caractéristique et le polynôme minimal, ils voulaient que je précise à nouveau alors que je l'avais dit oralement. De même une précision sur le fait qu'au tableau j'avais écrit que les deux matrices avaient les mêmes valeurs propres et je n'avais pas noté "avec même multiplicité" mais je l'avais dit oralement.
Des précisions sur la matrice de passage qui est diagonale dans le cas du développement.
Ensuite, des questions en rapport avec le développement. Je ne me rappelle plus de tout mais on m'a demandé si c'était possible de créer une norme qui vérifiait N(A) = N(Ap) pour toutes suites de matrices Ap semblable à A. La réponse était non en utilisant la deuxième partie du développement on arrivait au fait que la norme de toute matrice nilpotente est nulle ce qui est bien évidemment impossible (j'ai eu un bug sur la fin).
On m'a demandé: Est ce qu'on a la même continuité qu'avec le polynôme caractéristique avec le polynôme minimal? Je n'avais pas tout de suite bien compris la question. On a alors précisé la question: si j'ai une suite Ap semblable à A, alors est ce que le polynôme minimal de A va être le même que celui de la limite de Ap. J'ai dit que ça semblait faux puis j'ai trouvé un contre exemple.
Après on m'a donné comme exercice: Soit A,B deux matrices, est ce que AB et BA sont semblables?
C'est assez facile de voir que c'est vrai si elles sont inversibles.
Ensuite si on suppose que AB est nulle est ce que c'est tout le temps vrai?
On regarde les valeurs propres donc si on trouve BA non nulle avec AB nulle c'est faux. Un contre exemple en dimension 2 n'est pas trop dur à trouver. Pour m'aider on a essayé de m'indiquer le fait que l'image de B est incluse dans le noyau de A mais j'avais pas de suite compris et j'ai un peu galéré du coup.
(j'ai aussi dit une grossière erreur en voulant aller vite, j'ai dit que si AB=0 alors A=0 ou B=0 et donc BA=0 mais je me suis repris assez vite)
Après on m'a parlé un peu de mon plan. J'avais mis la relation par congruence, ils voulaient savoir ce que ça donnait quand on se restreint au groupe orthogonal. Il fallait parler du théorème spectral.
Ensuite on me demande combien de matrices diagonales il y a dans l'orbite. J'ai instinctivement répondu une seule en disant que les valeurs propres restaient les mêmes dans l'orbite avant de me reprendre en précisant qu'il n'y avait qu'une seule matrice diagonale à permutations près des éléments de la diagonale.
Enfin on revient encore sur mon plan, j'avais écrit que deux matrices semblables sur C le sont aussi sur R. C'est vrai mais je n'avais pas préciser que les matrices étaient réelles (ça paraissait obvious). Du coup ils m'ont demandé de l'écrire avant les quantificateurs et je me suis loupés en écrivant que les matrices étaient dans C... Donc après on me donne un contre exemple (en plus je fais une erreur de calcul dans le polynôme caractéristique...), et là je capte enfin où est l'erreur!
Puis on me demande une idée de la démonstration (je connaissais mais j'ai buggé à nouveau et j'ai pas réussi à conclure juste à l'oral).
Le jury était assez neutre. Il y avait deux hommes et une femme. Seul la femme souriait un peu quand je répondais correctement, c'est elle qui me posait le plus de questions. Un des homme ne m'a posé qu'une seule question mais voulait impérativement que je fasse le développement des classes de similitudes. Le dernier était très neutre, mais me donnait beaucoup de pistes pour m'aider.
Le début de la préparation est déroutant, c'était ma première épreuve et je n'avais pas de suite réalisé que ça avait réellement commencé. J'ai été aussi surpris du fait que l'on se balade librement dans le couloir pour chercher ses livres.
Enfin j'étais surpris du fait que l'on ne me pose aucune question ni sur le théorème de Lie-Kolchin, ni sur le lemme de Morse qui figuraient tous deux dans mon plan.
13
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Jury très sympathique et souriant ! J'ai donc fait comme DVPT la topologie des classes de similitude qui caractérise la réduction.
Ensuite ils m'ont demandé un contre exemple
rép: prendre une matrice 2x2 de polynome caractéristique X²+1 et donc elle est diagonalisable sur C mais pas sur R, donc sa classe de similitude sur C est fermée, mais sa classe de similitude réelle est l'intersection entre la complexe et Mn(R) donc est fermée.
Il m'ont demandé de changer les hypothèses pour que le théorème marche tout le temps
rép : il fallait considérer des endomorphismes semi-simples
J'ai eu ensuite quelques exercices :
1) on se place dans Fq^n, soit A=diag(1,0,..,0)
calculer le cardinal de l'oribte de A dans l'action par conjugaison.
rép: on a la formule : Orbite=Groupe/stab
il suffit de calculer le stab de A qui est l'ensemble des matrices qui commutent avec A
2)soient deux matrices semblables sur C, le sont elles sur R ?
rép : oui, séparer en partie réelle et imaginaire, puis raisonner par l'absurde avec un polynome ayant une infinité de racines et est donc nul. puis conclure.
3) comment caractériser les matrices symétriques réelle?
rep: signature + sylvester
4) démontrer sylvester
5) On se place dans Op,q une orbite de cette action (forme quadratiques réelles)
les orbites sont elles connexes?
J'ai juste eu le temps de parler des cas les plus simples commes On,0 et O0,n
Jury patient, souriant et m'aidait pendant les questions et me disaient lorsque je répondais juste !
Il avait l'air de bonne humeur du coup moi aussi.
J'avais plus l'impression d'échanger plutôt que de passer un concours.
J'ai vraiment été surpris, je pensais me faire détruire lors de cette leçon, mais cela s'est bien passé. J'ai mis le plan à mon niveau sans mettre de choses que je ne maîtrisais pas et ça s'est plutôt bien passé !
15
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Quelques questions sur mon développement (un point que j'avais peu détaillé, notations). Les invariants de similitude sont les espaces ou les polynômes ?
-Les actions que vous donnez sont-elles à droite ou à gauche ? (je sais jamais)
-Vous avez centré votre exposé sur les invariants et les formes normales. Que peut-on dire de la structure des orbites ? Par exemple pour l'action d'équivalence, que peut-on dire des orbites de rang fixé ? (j'ai parlé d'adhérence et de semi-continuité) Est-ce que ces orbites sont des sous-variétés ? (Pour rg=0 et rg=n, c'est trivial, sinon, je ne savais pas, et je leur ai dit - vu que le rang n'est pas continu, je ne voyais pas comment procéder).
-Ex: si un sg additif $G$ est stable par multiplication à gauche et à droite par $M_n$, montrer que $G=\{0\}$ ou $G=M_n$. (Si non nul, on a une matrice dont un coeff est non nul, donc on a une matrice avec $a_{1,1}=1$ dans $G$ en permutant/dilatant, puis par pivot de Gauss, on tue les coeff sur la première ligne et la première colonne, et en multipliant par la matrice $E_{1,1}$, on obtient $E_{1,1}$, donc tous les $E_{i,j}$ par permutation, donc $M_n$.
-A propos de réduction simultanée et d'action diagonale (ce que j'avais fait pour la conjugaison et la congruence), que se passe-t-il pour l'action d'équivalence ? Nb de classes, invariants, etc. (J'ai un peu tâtonné, cherchant à réduire l'un puis l'autre sans trop de succès. Ils m'ont dit de regarder le cas où la dim=1 -> On voit alors que on a soit (0,0), soit (1,0) ou (0,1), soit (1,x), $x\neq 0$, et le rapport $x$ est un invariant. Retour à $n>1$, on veut regarder la classe de (Id,M), et on voit que c'est (Id, P), où P est semblable à M)
Un peu sec tout au début quand j'avais pris des mauvaises notations dans mon plan sur les invariants de similitude et que je confonde action à droite et à gauche, mais après, avec les exercices, ils sont vite devenus assez enthousiastes.
Pas de réponse fournie.
18