Développement : L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Détails/Enoncé :

L'application suivante est un homéomorphisme :

$\begin{array}{ccc}
S_n(\mathbb{R}) & \to & S_n^{++}(\mathbb{R}) \\
S & \longmapsto & \exp(S)
\end{array}$

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    En maitrisant bien le dev, il est un peu court. On pourrait rajouter le Thm Spetral qui sera posé en question dans tous les cas.
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    Développement hyper classique, dans la même veine que la décomposition polaire.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Comme pour la surjectivité de l'exponentielle, je conseille de bien travailler la notion de rayon spectral en lien avec les normes matricielles.
    La partie la plus difficile de ce développement est de justifier la bicontinuité. Cela repose sur un argument de compacité, notamment le fait que "dans un espace vectoriel de dimension finie, toute suite bornée qui admet une unique valeur d'adhérence converge vers cette valeur d'adhérence", chose que j'ai justifié en bas de la 2e page, dans la version intitulée "plus simplement" (car celle d'avant était compliquée pour rien)... Cela a été malheureusement légèrement coupé par le scan, mais il ne manque pas grand chose...
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 118 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 141 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 25 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 52 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)