Développement : L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Détails/Enoncé :

L'application suivante est un homéomorphisme :

$\begin{array}{ccc}
S_n(\mathbb{R}) & \to & S_n^{++}(\mathbb{R}) \\
S & \longmapsto & \exp(S)
\end{array}$

Recasages pour l'année 2025 :

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    En maitrisant bien le dev, il est un peu court. On pourrait rajouter le Thm Spetral qui sera posé en question dans tous les cas.
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    Développement hyper classique, dans la même veine que la décomposition polaire.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Comme pour la surjectivité de l'exponentielle, je conseille de bien travailler la notion de rayon spectral en lien avec les normes matricielles.
    La partie la plus difficile de ce développement est de justifier la bicontinuité. Cela repose sur un argument de compacité, notamment le fait que "dans un espace vectoriel de dimension finie, toute suite bornée qui admet une unique valeur d'adhérence converge vers cette valeur d'adhérence", chose que j'ai justifié en bas de la 2e page, dans la version intitulée "plus simplement" (car celle d'avant était compliquée pour rien)... Cela a été malheureusement légèrement coupé par le scan, mais il ne manque pas grand chose...
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    Un développement sympathique, qui ressemble beaucoup, dans l'idée, au développement sur la décomposition polaire. D'ailleurs, celle-ci peut s'en déduire. La référence que je donne le fait de façon acceptable. En terme de temps, le développement est quand même assez long, et on ne peut pas vraiment se permettre de tergiverser en explications. Je ne prouvais pas le calcul de la norme subordonnée à la norme 2 (qui vaut le rayon spectral de la matrice) Ceci dit, beaucoup de résultats sont à savoir, notamment la continuité de l'exponentielle complexe et ce calcul de la norme d'opérateur associé à la norme 2. Je déconseille de mettre ce développement en face du développement sur la décomposition polaire, c'est trop redondant. Je donne tout de même la liste de toutes les leçons dans lesquelles il se recase à mon avis.

    Exponentielle de matrices
    Endomorphismes diagonalisables
    Matrices symétriques réelles et hermitiennes
    Endomorphismes remarquables d'un ev euclidien

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 151 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 25 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 68 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 77 versions au total)