Leçon 155 : Exponentielle de matrices. Applications.

(2023) 156

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 156 - Exponentielle de matrices. Applications.) Bien que ce ne soit pas une leçon d'analyse, il faut savoir justifier précisément la convergence de la série exponentielle. Les questions de surjectivité ou d'injectivité doivent être abordées en distinguant les cas réel et complexe. Il est souhaitable de connaître l'image par exponentielle de certains sous-ensembles de matrices (ensemble des matrices symétriques, hermitiennes, ou antisymétriques). La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $\exp(A)$ trouve toute son utilité dans cette leçon. L'exponentielle en lien avec la décomposition polaire peut s'avérer utile dans l'étude de sous-groupes du groupe linéaire. L'étude du logarithme (quand il est défini) peut être menée dans cette leçon. Les applications aux équations différentielles méritent d'être présentées sans toutefois constituer l'essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidates et candidats de proposer ce thème dans un développement de cette leçon, sauf à avoir bien compris comment les apports algébriques permettent ici de simplifier les conclusions analytiques. Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent s'aventurer vers les sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire (on peut alors voir si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL_n(\mathbb{R})$ ou vers les algèbres de Lie.

(2022 : 156 - Exponentielle de matrices. Applications.) Bien que ce ne soit pas une leçon d'analyse, il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. Les questions de surjectivité ou d'injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ est-elle l'exponentielle d'une matrice à coefficients réels ? La matrice définie par blocs $B= \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix} $ est-elle l'exponentielle d'une matrice à coefficients réels ? La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $exp(A)$ trouve toute son utilité dans cette leçon. L'exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire dans bon nombre de problèmes sur les sous-groupes du groupe linéaire. L'étude du logarithme (quand il est défini) peut être menée dans cette leçon. Il est bon de connaître l'image par exponentielle de certains sous-ensembles de matrices (ensemble des matrices symétriques, hermitiennes, ou antisymétriques). Les applications aux équations différentielles méritent d'être présentées sans toutefois constituer l'essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement de cette leçon, sauf à avoir bien compris comment les apports algébriques permettent ici de simplifier les conclusions analytiques. S'ils le désirent, les candidats peuvent s'aventurer vers les sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire (on peut alors voir si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n,R)$) ou vers les algèbres de Lie.
(2019 : 156 - Exponentielle de matrices. Applications.) Bien que ce ne soit pas une leçon d’analyse, il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. $\\$ Les questions de surjectivité ou d’injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ est-elle l’exponentielle d’une matrice à coefficients réels ? La matrice définie par blocs $B=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$ est-elle l’exponentielle d’une matrice à coefficients réels ? $\\$ La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $\exp(A)$ trouve toute son utilité dans cette leçon. L’exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire dans bon nombre de problèmes sur les sous-groupes du groupe linéaire. L’étude du logarithme (quand il est défini) peut être menée dans cette leçon. $\\$ Il est bon de connaître l’image par exponentielle de certains sous-ensembles de matrices (ensemble des matrices symétriques, hermitiennes, ou antisymétriques). $\\$ Les applications aux équations différentielles méritent d’être présentées sans toutefois constituer l’essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement de cette leçon, sauf à avoir bien compris comment les apports algébriques permettent ici de simplifier les conclusions analytiques. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer vers les sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire (on peut alors voir si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $Gl(n,\textbf{R})$)ou vers les algèbres de Lie.
(2017 : 156 - Exponentielle de matrices. Applications.) Bien que ce ne soit pas une leçon d’analyse, il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. La distinction entre le cas réel et complexe doit être clairement évoqué. Les questions de surjectivité ou d’injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ est-elle l’exponentielle d’une matrice à coefficients réels ? La matrice définie par blocs $B = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$ est-elle l’exponentielle d’une matrice à coefficients réels ? La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $\exp(A)$ trouve toute son utilité dans cette leçon. Notons que l’exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire dans bon nombre de problèmes sur les sous-groupes du groupe linéaire. L’étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si l’on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra évoquer le calcul sur les développements limités. Les applications aux équations différentielles méritent d’être présentées sans toutefois constituer l’essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement de cette leçon, sauf à avoir bien compris comment les apports algébriques permettent ici de simplifier les conclusions analytiques. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer vers les sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire (on peut alors voir si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n,R)$) vers les algèbres de Lie.
(2016 : 156 - Exponentielle de matrices. Applications.) Bien que ce ne soit pas une leçon d’analyse, il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. La distinction entre le cas réel et complexe doit être clairement évoqué. Les questions de surjectivité ou d’injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ est-elle l’exponentielle d’une matrice à coefficients réels ? La matrice définie par blocs $B = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$ est-elle l’exponentielle d’une matrice à coefficients réels ? La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de exppAq trouve toute son utilité dans cette leçon. Notons que l’exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire dans bon nombre de problèmes sur les sous-groupes du groupe linéaire. L’étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si l’on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra invoquer le calcul sur les développements limités. Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l’essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer vers les sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire (on peut alors voir si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n,R)$) ou vers les algèbres de Lie.
(2015 : 156 - Exponentielle de matrices. Applications.) C'est une leçon difficile et il faut noter que ce n'est pas une leçon d'analyse. Il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. Les questions de surjectivité ou d'injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 \esperluette 1 \\ 0 \esperluette -1 \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $\exp(M_2(\mathbb{R}))$ ? La matrice définie par blocs $B = \begin{pmatrix} A \esperluette 0 \\ 0 \esperluette A \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $\exp(M_4(\mathbb{R}))$ ? La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $\exp(A)$ trouve toute son utilité dans cette leçon. Pour les candidats plus aguerris, les sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire y sont tout à fait à propos. On peut s'interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n,\mathbb{R})$. Notons que l'exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire dans bon nombre de problèmes sur les sous-groupes du groupe linéaire. L'étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si l'on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra invoquer le calcul sur les développements limités. Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l'essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement. Les notions d'algèbres de Lie ne sont pas au programme de l'agrégation, on conseille de n'aborder ces sujets qu'à condition d'avoir une certaine solidité sur la question.
(2014 : 156 - Exponentielle de matrices. Applications.) C'est une leçon difficile et ce n'est pas une leçon d'analyse. Il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. Les questions de surjectivité ou d'injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 \esperluette 1 \\ 0 \esperluette -1 \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $exp(Mat(2, R))$ ? La matrice blocs $B = \begin{pmatrix} A \esperluette 0 \\ 0 \esperluette A \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $exp(Mat(4, R))$ ? La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $exp(A)$ doit être connue. Les groupes à un paramètre peuvent trouver leur place dans cette leçon. On peut s'interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n, R)$. L'étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra invoquer le calcul sur les développements limités. Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l'essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement. Les notions d'algèbres de Lie ne sont pas au programme de l'agrégation, on conseille de n'aborder ces sujets qu'à condition d'avoir une certaine solidité. Sans aller si loin, on pourra donner une application de l'exponentielle à la décomposition polaire de certains sous-groupes fermés de $GL_n$ (groupes orthogonaux par exemple).

Plans/remarques :

2024 : Leçon 155 - Exponentielle de matrices. Applications.


2023 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.


2020 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.


2018 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.


2017 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.


2016 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.


2015 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.


Retours d'oraux :

2022 : Leçon 156 - Exponentielle de matrices. Applications.

  • Leçon choisie :

    156 : Exponentielle de matrices. Applications.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Etude de O(p,q)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1. Pouvez-vous justifier que O(p,q) est stable par transposition?
    2. Pouvez-vous justifier que l’exp de la transposée c’est la transposé de l’exp?
    3. Pouvez-vous ré-expliquer pourquoi on a L ∩ S (R) ≃ O(p, q) ∩ S++(R)?
    4. Justifiez que p = 0 ssi O(p,q) est compact.
    5. Vous utilisez que l’exponentielle réalise un homéomorphisme, sauriez-vous justifier la surjectivité ?
    6. Toujours dans cet homéomorphisme, comment prouver la continuité de la réciproque ?
    7. En lien avec votre dev, que peut on dire de H tel que, ∀t ∈ R, exp(tH) ∈ O(p, q) ?
    8.Pouvez-vous justifier que exp(A) ∈ K[A]?
    9. Et alors, en utilisant cela, auriez-vous un moyen de calculer une exponentielle matricielle pour une matrice
    diagonalisable sans avoir à calculer des matrices de changement de base?
    10. Un petit calcul ; pouvez-vous calculer exp ([a b] [b a]) ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury composé de 2 hommes et 1 femme, vraiment sympathique et bienveillant, souriant, la femme acquiesçait la plupart du temps, me donnait des indications si besoin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On a 15 min de latence entre le moment où on doit poser les stylos et le moment où on passe devant le jury.

  • Note obtenue :

    13.75


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 55 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 24 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 37 versions au total)
Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 38 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 285 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 36 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 78 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 40 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 93 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 30 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 219 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 247 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 53 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 125 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 413 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 38 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 166 versions au total)