Référence : Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries

Table de caractères de D4 et H8

Développement :
Table de caractères de D4 et H8
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- D4H8.pdf

Formes de Hankel

Développement :
Formes de Hankel
Remarque :
Attention, ce développement est dangereux pour le passage parfois ambigu de R à C ! L'invariance du rang est ainsi un indispensable !
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Dev2.pdf

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Développement :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Remarque :
Attention, la référence n'y est pas mais c'est dans le NH2H2 tome 2 !
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Dev4.pdf

Table de caractères à valeurs entières (Condition suffisante pour que ton petit cousin lise ta table de caractères)

Développement :
Table de caractères à valeurs entières (Condition suffisante pour que ton petit cousin lise ta table de caractères)
Remarque :
Il faut bien connaître ses polynômes cyclotomiques ;)

C'est dans le NH2G2 tome 2 !
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Dev15.pdf

Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité

Développement :
Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 108 et 162, peut-être plus utile pour la 162 car je ne trouve pas qu'il soit facile de trouver des développements pour celle-ci.

Les références pour chacune des démonstrations sont dans le document, mais il y a une coquille pour Gl_n(C), c'est l'application de R x ]0, 1[ -> C telle que t -> $\Psi_a$(t) qui est injective (pas [0,1] fermé !).

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
Fichier :
- Générateurs GL(E) - V1.pdf

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Développement :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 101, 121, 123 et 170.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Loi réciprocité quadratique - V2.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Développement très classique, relativement court et pas trop dur.
On utilise le théorème spectral, le théorème de diagonalisation simultanée, les polynomes d'interpolation de Lagrange, la caractérisation séquencielle de la continuité, la compacité de On(R), et le fait qu'une suite dans un compact qui admet une seule valeur d'adhérence est convergente.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : Le jury a choisi ce développement le jour de mon oral, on m'a, entre autres, posé les questions 1,2,3.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- 8 - Décomposition polaire.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Références :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
Fichier :
- Décomposition polaire NH2G2 1 Isenmann.pdf

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Développement :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Remarque :
Il ne faut pas traîner pour le faire rentrer en 15 minutes sans occulter un argument. Ayez quelques exemples d'applications en tête pour le plan/les questions, c'est un résultat très utile (et pour l'anecdote, un des préférés de D. Perrin)
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- réciprocité_quadratique.pdf

Décomposition polaire pour O(p,q)

Développement :
Décomposition polaire pour O(p,q)
Remarque :
Ne pas faire tous les calculs des produits par blocs pour gagner un peu de temps, le reste se fait bien.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- décomposition_polaire.pdf

Action de Steinitz

Développement :
Action de Steinitz
Remarque :
NH2G2 tome 1, p4, p11
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni

Sous-groupes à 1 paramètre de GLn(C)

Développement :
Sous-groupes à 1 paramètre de GLn(C)
Remarque :
L'exercie III-F-17 de Nouvelles Histoires Hédonistes de Géométries(Phil Caldero).
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni

Théorème de Lie-Kolchin

Développement :
Théorème de Lie-Kolchin
Références :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
- Algèbre corporelle, Antoine Chambert-Loir
Fichier :
- Lie-Kolchin.pdf

Formes de Hankel

Développement :
Formes de Hankel
Remarque :
CouZaert est passée sur ce développement lors de son oral d'algèbre (leçon 144). Nous avons relu cette version ensemble.

La version du NH2G2 tome 1 est assez elliptique : quelques passages mériteraient d'être plus détaillés.

Selon moi : leçons 144 et 170 (2023). À la limite 171, mais je pense qu'il y a bien mieux à faire.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Malartre_formes_de_Hankel.pdf

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Développement :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
Remarque :
Recasages: 155, 156, 158

Page 357

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- exp matricielle homéo.pdf

Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Développement :
Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
Remarque :
Ce document est long mais c'est parce que je donne des détails, des conseils et des résultats supplémentaires après le développement. Je m'appuie aussi sur les tableaux de Young et je vous invite à le faire car, comme je le dis dans le document, le développement est vraiment simple à retenir quand on se base sur les tableaux de Young. J'ai mis quelques dessins pour essayer de vous expliquer le principe mais le mieux est de se faire aider par un professeur.
Pour moi, il y a plus de recasages que ça. J'ai mis mes recasages au début du document. Vous pouvez bien sûr ne pas être d'accord. L'important est de savoir défendre ses choix face au jury.
Références :
- Algèbre linéaire , Grifone
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Réduction de Jordan.pdf

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Développement :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Remarque :
Ce document est très long mais c'est parce que je fais une sorte d'introduction au problème et j'essaie de ne pas parachuter le supplémentaire stable, mais de l'introduire petit à petit.
Pour moi, c'est 5 étoiles dans la leçon sur la dualité et je le justifie dans mon document.
Je met aussi un lien à la fin vers un document qui présente des applications du théorème de Frobenius.
Références :
- Algèbre et probabilités, Gourdon
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Réduction de Frobenius.pdf

265 : Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Références :
- Cours d'algèbre , Perrin
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Leçon 101.pdf

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Leçon :
Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg

La partie de topologie peut être étoffée, ce n'est juste pas ma tasse de thé.
Références :
Fichier :
- 106.pdf

123 : Corps finis. Applications.

Leçon :
Corps finis. Applications.
Remarque :
Fun fact: on ne peut pas ajouter $\mathbb{F}_{p^{28}}$ dans le diagramme des extensions de corps finis donné en annexe de façon à ce que le graphe reste planaire ! Preuve en exercice...
Références :
Fichier :
- 123.pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Un plan juste un peu court (qui convient aux plus grosses écritures, disons).
Références :
Fichier :
- 156.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Remarque :
J'ai aussi utilisé le El Amrani Arithmétique
Références :
Fichier :
- 126.pdf

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Remarque :
Les références sont à la fin du plan
Références :
- Algèbre , Gourdon
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- 144.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Références :
Fichier :
- 158.pdf

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications

Leçon :
Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
Références :
Fichier :
- b0 170.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !

Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
Références :
Fichiers :
- 148.pdf
- 148_fiche.pdf

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Leçon :
Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).

La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).

Désolé de cette liste de références à la Prévert !
Références :
Fichier :
- 267.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Bcp de possibilités pour les développements :
- isomorphismes exceptionnels
- p-Sylow de GL_n(F_q) (prop 14 de mon plan)
- Nb d'endo diagonalisable sur M_n(F_q)
- Nb d'endo nilpotent sur M_n(F_q) avec lemme de Fitting
- Automorphismes de S_n
- Décomposition de Bruhat + action sur les drapeaux.
Références :
Fichier :
- 190.pdf

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries

Utilisée dans les 16 développements suivants :

Utilisée dans les 12 leçons suivantes :

Utilisée dans les 22 versions de développements suivants :

Table de caractères de D4 et H8

Formes de Hankel

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Table de caractères à valeurs entières (Condition suffisante pour que ton petit cousin lise ta table de caractères)

Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Etude de O(p,q)

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Décomposition polaire

Décomposition polaire

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Décomposition polaire pour O(p,q)

Action de Steinitz

Sous-groupes à 1 paramètre de GLn(C)

Théorème de Lie-Kolchin

Formes de Hankel

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Utilisée dans les 12 versions de leçons suivantes :

265 : Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

123 : Corps finis. Applications.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.