Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact

Théorème de compacité du calcul propositionnel

Le Queffelec pour la première partie, le reste je n'ai pas de source…

Théorème de Runge (version faible)

Il vaut mieux avoir une idée (pas forcément plus) de la preuve de la version forte. Tout est dans le Queffelec !

Lemme de Zabrejko et applications

On démontre les trois théorèmes classiques en application.

Théorème de Niemytzki-Tychonoff (aka théorème de Bing)

Théorème de la limite simple de Baire

Théorème du point fixe de Picard

Picard et Picard à paramètre

Théorème de Runge (version faible)

Théorème de Runge (version faible)

bien pour 204, 245, 209
un peu moyen pour 203 ,243

Théorème de Runge (version faible)

Théorème de Runge (version faible)

La principale difficulté de ce développement est d'en retenir les étapes. À part ça, il est plutôt simple en termes de difficulté.

Le recasage en 245 (fonctions holomorphes) est possible (comme je l'ai mis, même si j'ai d'autres développements plus intéressants dessus), mais il faut le motiver : c'est la version faible du théorème, la version forte portant sur des fonctions holomorphes.
Je ne l'ai pas recasé en 243 (séries entières), et je ne le conseille pas : de mon point de vue, il y a tellement plus de développements intéressants pour cette leçon que recaser Runge faible dedans pourrait être (vraiment) mal vu de la part du jury. Mais à voir.

Attention aux coquilles.

Distance de Hausdorff, Théorème de Hutchinson

J'ai repris la version de mickael et j'en ai fait un document plus détaillé. Je le recase aussi en compacité et dans suites récurrentes. Je vous ai aussi mit un code pour dessiner des fractales à partir de tout ça
Amusez vous bien :D

Update : J'ai repris et simplifié la preuve. On prend les limites des suites (xn) telles que xn dans An pour tout n plutôt que leurs valeurs d'adhérences ça marche aussi bien. Et on a en fait une preuve très simple pour montrer que A est fermé plutôt que de passer par l'intersection des adhérences des unions des Ak totalement indigeste. Bref désolé pour la V1 un peu cata

Théorème de Runge (version faible)

Contrairement à mes camardes au dessus, je l'ai volontiers recasé dans la 243... Je comprends leur point de vue cependant. A vous de décider...
Je n'étais pas un grand fan de ce développement, il peut en effet se recaser dans 209 mais j'avais trouvé mieux, dans 245 selon moi c'est vraiment vraiment bof... Bref, je pense que c'est un développement à prendre si on n'a vraiment rien d'autre (bien qu'il aille très bien dans la 204)

Théorème du point fixe de Picard

Pour les leçons : 205 et 226.
Ce développement ne se recase pas très bien, mais il a le mérite d'être simple et est crucial par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire.

Espaces complets. Exemples et applications.

Mis à jour le 11.05.17

Utilisation de la notion de compacité.

Mis à jour le 29.05.17

Formules du calcul propositionnel : représentation, formes normales, satisfiabilité. Applications.

Connexité. Exemples et applications.

Espaces complets. Exemples et applications.

Connexité. Exemples et applications.

Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Il est important de tourner votre leçon autour de l'*utilisation* des courbes !

Utilisation de la notion de compacité.

Utilisation de la notion de compacité.

Connexité. Exemples et applications.

Espaces complets. Exemples et applications.

Connexité. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Connexité. Exemples et applications.

Connexité. Exemples et applications.

Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).

La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).

Désolé de cette liste de références à la Prévert !

Utilisation de la notion de compacité.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Connexité. Exemples d'applications.

Je pense que dans cette leçon, de même que dans la 203 sur la compacité, il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux me semble dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut le faire mais il faut être sûr de bien maitriser la topologie générale...
Personnellement, je n'ai utilisé le livre de Marco "Analyse L3" que pour cette leçon... On peut sûrement tout trouver dans les autres livres mais j'aimais bien comment il présentait la connexité.
C'est important de mettre des applications au calcul diff, aux équa diff, à l'analyse complexe...Il faut aussi connaître le fameux contre-exemple d'espace métrique connexe mais non connexe par arcs.
Pour mon DEV1, finalement je ne fais que le théorème de Runge faible en allant doucement... Il se recase aussi dans 241 et 243... Ce n'était vraiment pas mon développement préféré...

Connexité. Exemples d'applications.

Voici un plan possible pour la leçon 204.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Séries de Fourier. Exemples et applications.

J'aime pas.