Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Continuité des racines d'un polynôme

Je ne l'ai pas écrit tout à fait de la même manière que dans le Testard, à vous de voir comment vous voulez le présenter (et apparemment il est aussi fait dans le Gourdon, mais je ne l'y ai pas trouvé).

La courbe brachistochrone

Le livre de Testard donne ce résultat en exercices, dans une rubrique consacrée aux calculs de variations et aux équations d'Euler-Lagrange. Si vous voulez plus de détails, vous pourrez trouver un très bon article à cette adresse : http://arxiv.org/pdf/1001.2181v2.pdf

Enjoy !

Crash-testé en oral blanc : le jury trouvait que je ne l'ai pas assez bien motivé dans ma leçon (convexité en analyse) j'ai donc modifié le document afin que cela soit plus clair qu'il rentre dans les leçons d'extrema et de convexité.

Distance de Hausdorff, Théorème de Hutchinson

J'ai repris la version de mickael et j'en ai fait un document plus détaillé. Je le recase aussi en compacité et dans suites récurrentes. Je vous ai aussi mit un code pour dessiner des fractales à partir de tout ça
Amusez vous bien :D

Update : J'ai repris et simplifié la preuve. On prend les limites des suites (xn) telles que xn dans An pour tout n plutôt que leurs valeurs d'adhérences ça marche aussi bien. Et on a en fait une preuve très simple pour montrer que A est fermé plutôt que de passer par l'intersection des adhérences des unions des Ak totalement indigeste. Bref désolé pour la V1 un peu cata

La courbe brachistochrone

Il fallait choisir une équation différentielle non linéaire pour intégrer le couplage, et le problème de la courbe brachistochrone s'est imposé pour au moins cinq raisons : c'est un exemple, il se recase dans la leçon Extrema, il est original, il est bien documenté, et il a quand même une justification physique qui l'ancre dans n'importe quelle défense de plan. C'est donc un ticket gagnant pour un développement aux conclusions hautement géométriques (c'est une cycloïde). Un grand merci à Mathoumatheux et ses prédécesseurs pour avoir raffiné et poli ce joli dév de calcul des variations !!

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Un plan sur lequel je suis tombé pour mon troisième oral blanc. Ce plan est très dur, surtout la partie topologie faible ! Faire de la topologie faible dans des Hilbert est largement suffisant. Il y a également quelques coquilles dans mon plan (notamment sur le théorème de Kakutani qui est une équivalence, sans l'équivalence c'est juste le théorème de Banach-Alaoglu), et j'aurais peut-être dû mettre mon développement sur la courbe brachistochrone dans la partie optimisation en dimension infinie. En tous cas ce plan contient normalement tout ce qu'il faut, j'espère que ça vous sera utile.