Développement : La courbe brachistochrone

Détails/Enoncé :

Au XVIIe siècle, la famille Bernoulli (au moins deux d'entre eux) et Leibniz s'intéressent à un problème initié par Galilée : si on prend deux points d'un plan, quelle doit être la forme de la courbe minimisant le temps de trajet d'un point materiel placé dans un champ de pesanteur uniforme glissant sans frottement et sans vitesse initiale sur cette courbe ? Une telle courbe est appelée courbe brachistochrone, brakhistos voulant dire "le plus court" et chronos voulant dire "le temps" en grec. Galilée pensait qu'il s'agissait d'un arc de cercle. Cependant, Bernoulli et Leibniz ont prouvé qu'il s'agissait d'un arc de cycloïde : en notant $(x,y)$ les coordonnées dans le plan, avec ici $Oy$ orienté dans le même sens que le champ de pesanteur, il existe $\theta_0 \in (0,2\pi)$ tel que la courbe soit paramétrée par les équations :
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
x(\theta) & = & R(\theta - \sin(\theta)) \\
y(\theta) & = & R(1-\cos(\theta))
\end{array}, \quad \theta \in [0,\theta_0].
\right.
$$
Le but de ce développement est de le montrer, en utilisant des techniques de calcul de variations.

Recasages pour l'année 2026 :

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    Le livre de Testard donne ce résultat en exercices, dans une rubrique consacrée aux calculs de variations et aux équations d'Euler-Lagrange. Si vous voulez plus de détails, vous pourrez trouver un très bon article à cette adresse : http://arxiv.org/pdf/1001.2181v2.pdf

    Enjoy !

    Crash-testé en oral blanc : le jury trouvait que je ne l'ai pas assez bien motivé dans ma leçon (convexité en analyse) j'ai donc modifié le document afin que cela soit plus clair qu'il rentre dans les leçons d'extrema et de convexité.
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    Il fallait choisir une équation différentielle non linéaire pour intégrer le couplage, et le problème de la courbe brachistochrone s'est imposé pour au moins cinq raisons : c'est un exemple, il se recase dans la leçon Extrema, il est original, il est bien documenté, et il a quand même une justification physique qui l'ancre dans n'importe quelle défense de plan. C'est donc un ticket gagnant pour un développement aux conclusions hautement géométriques (c'est une cycloïde). Un grand merci à Mathoumatheux et ses prédécesseurs pour avoir raffiné et poli ce joli dév de calcul des variations !!
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse mathématique , Testard (utilisée dans 6 versions au total)