Développement : Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé. Soit $G$ un sous-groupe compact de $GL(E)$. Soit $K$ un compact convexe non vide tel que $\forall u \in G, u(K) \subseteq K$.

Alors il existe $x \in K $ tel que $u(x) = x$ pour tout $u \in G$.

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Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

(2023) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2023) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2023) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2022) 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2022) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2022) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2021) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2021) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2021) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2020) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2020) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2020) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2019) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2019) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2019) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2018) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E , sous-groupes de $GL(E)$ . Applications.
(2018) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2018) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2017) 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications
(2017) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2017) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2016) 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.
(2016) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2016) 206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.
(2016) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2015) 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.
(2015) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2015) 206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.
(2015) 203 : Utilisation de la notion de compacité.
(2014) 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.
(2014) 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
(2014) 206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.
(2014) 203 : Utilisation de la notion de compacité.

Versions :

Version de Clément

Auteur :
Clément
Fichier :
- kakutani.pdf

Version de Victor

Auteur :
Victor
Référence :
- Thèmes de Géométrie, Alessandri
Fichier :
- kakutani_thm.pdf

Version de Gayral

Auteur :
Gayral
Référence :
- Analyse mathématique , Testard
Fichier :
- kakutani.pdf

Version de Matoumatheux

Auteur :
Matoumatheux
Remarque :
L'application est, je trouve, très sympa. J'ai mis un complément sur les produits scalaires invariants et l'équivalence entre l'existence d'un produit scalaire invariant et le fait d'être conjugué à un sous-groupe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$
Référence :
- Thèmes de Géométrie, Alessandri
Fichier :
- Kakutani et sous-groupes compacts de GLn.pdf

Version de Méthivier

Auteur :
Méthivier
Remarque :
Version tiré du Rombaldi, je démontre juste pas la continuité de $\phi$ de la même façon, je préfère me passer d'écritures matricielles quand on le peut. Attention aux coquilles
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- kakutani_sg_compact_GL.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Thèmes de Géométrie, Alessandri (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse mathématique , Testard (utilisée dans 3 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 276 versions au total)