Développement : Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé. Soit $G$ un sous-groupe compact de $GL(E)$. Soit $K$ un compact convexe non vide tel que $\forall u \in G, u(K) \subseteq K$.

Alors il existe $x \in K $ tel que $u(x) = x$ pour tout $u \in G$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Un très chouette développement, fun à faire et qui a le mérite de se recaser dans plusieurs leçons dans lesquelles il est assez difficile de trouver des devs sympas (à mon humble avis). Par contre, c'est un développement assez long, pour lequel il faut être bien préparé. Mon avis, c'est qu'il faut admettre l'équivalence entre avoir un produit scalaire invariant et être conjugué à un sous-groupe de On(R), le lemme de Caratheodory et la convexité de Sn++(R) (mais bien sûr savoir démontrer tout cela !).
    La ref suit un chemin un peu trop compliqué pour le résultat qu'on cherche à obtenir, mais qui se justifie parce que ça permet d'obtenir une forme plus générale du théorème de Kakutani (mais ce n'est pas ce que je fais dans le poly).
    J'ai personnellement préféré utiliser des notations purement "endomorphismes" plutôt que matricielles (en particulier, j'utilise des adjoints plutôt que des transposées). Ça peut faire un peu lourd à certains endroits, mais je préfère comme ça.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Thèmes de Géométrie, Alessandri (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse mathématique , Testard (utilisée dans 5 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 630 versions au total)