Leçon 206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

(2015) 206

Dernier rapport du Jury :

(2016 : 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications. ) Cette leçon n’apparaîtra plus dans la session 2017. Toutefois le théorème du point fixe de Banach trouve naturellement sa place dans les leçons 205, 226, voire 233. Il est également sous-jacent dans d’autres thèmes de leçons : calcul différentiel, équations différentielles.

(2015 : 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.) Il faut préparer des contre-exemples pour illustrer la nécessité des hypothèses des théorèmes énoncés . Les applications aux équations différentielles sont importantes. Répétons que la maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz est attendue. Pour l'analyse de convergence des méthodes de point fixe, les candidats ne font pas suffisamment le lien entre le caractère localement contractant de l'opérateur itéré et la valeur de la différentielle au point fixe. La méthode de Newton, interprétée comme une méthode de point fixe, fournit un exemple où cette différentielle est nulle, la vitesse de convergence étant alors de type quadratique. L'étude de méthodes itératives de résolution de systèmes linéraires conduit à relier ce caractère contractant à la notion de rayon spectral. Pour les candidats solides, il est envisageable d'admettre le théorème de point fixe de Brouwer et d'en développer quelques conséquences comme le théorème de Perron-Frobenius.
(2014 : 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.) Les applications aux équations différentielles sont importantes. Répétons que la maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz est attendue. Il faut préparer des contre-exemples pour illustrer la nécessité des hypothèses. Pour l'analyse de convergence des méthodes de point fixe, les candidats ne font pas suffisamment le lien entre le caractère localement contractant de l'opérateur itéré et la valeur de la différentielle au point fixe. La méthode de Newton, interprétée comme une méthode de point fixe, fournit un exemple où cette différentielle est nulle, la vitesse de convergence étant alors de type quadratique. L'étude de méthodes itératives de résolution de systèmes linéraires conduit à relier ce caractère contractant à la notion de rayon spectral. Il est envisageable d'admettre le théorème de point fixe de Brouwer et d'en développer quelques conséquences comme le théorème de Perron-Froebenius.

Développements :

Plans/remarques :

2016 : Leçon 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2016 : Leçon 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    218 : Applications des formules de Taylor.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème d'inversion locale

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Défense bien passée, même si le jury était à moitié mort (je passe à 16h durant la dernière semaine d'oral), l'un avait les yeux fermés la plupart du temps. Durant le développement, j'ai senti le jury très peu réceptif, et pas convaincu, du coup j'ai perdu confiance, j'ai réexpliqué des choses et perdu du temps inutilement : ils m'ont demandé de conclure rapidement alors qu'il me restait une partie du développement à montrer. J'ai donné les étapes. Ils m'ont demandé comme première question de détailler le dernier point (montrer que homéo implique difféo sur la réciproque).
    -Ex: pouvez-vous appliquer ça (inversion locale) pour montrer que une fonction holomorphe est d'image ouverte. J'ai évacué le cas où la dérivée en un point est non nul, car on applique l'inversion locale. Ensuite, j'ai un peu galéré. Ils m'ont orienté vers l'écriture de la série entière en ce point. J'ai introduit le premier coefficient non nul, et ils m'ont dit de montrer qu'alors on avait pas forcément un difféo, mais qu'on avait en fait un difféo à la puissance $p$. On factorise le terme en $z^p$ puis il reste un terme qui est non nul en $0$, donc on a une détermination locale du logarithme et donc une puissance 1/p-ième.
    -Ex: Montrer qu'une fonction croissante de $[0,1]$ dans lui-même a un point fixe. J'ai fait un dessin, posé $c=\inf\{x; f(x)\leq x\}$. Ils m'ont demandé de dire des choses sur l'ensemble considéré, j'ai surtout parlé du fait qu'il n'était pas fermé, mais ils attendaient simplement qu'il était non vide et minoré. Ensuite, j'ai montré que si $c$ appartenait à l'ensemble, c'était fini. Puis j'ai pris $(x_n)$ qui tend en décroissant, et je voulais montrer que $c$ était dans l'ensemble. J'ai un peu galéré, mais en regardant la bonne inégalité, on obtient le résultat.
    -Ex: que dire de la différentielle autour d'un point fixe d'une fonction telle qu'il existe un intervalle attractif ? Réponse donnée : norme $\leq$1. Car sinon, on aurait une direction telle que la dérivée soit $>1+\vareps$ et des histoires de stabilité.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury endormi au début (littéralement un qui luttait contre le sommeil pendant défense et développement), puis, allant de tout mou à très sec dans son attitude.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    19


2015 : Leçon 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    244 : Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    L'exercice m'a paru plutôt difficile. On a seulement traité les cas où K est une boule, puis le cas où K est connexe par arcs. J'ai eu beaucoup d'indications, mais le jury était très pressant dès que la démo n'avançait pas, c'était assez frustrant.

    questions :

    comment prouver rapidement le résultat du développement pour les groupes finis ? avez-vous une idée pour généraliser le résultat aux groupes compacts infinis ?

    que pouvez-vous me dire sur le th. de représentation conforme ? (référence à la dernière remarque du plan qui parlait de points fixes d'homographies)

    pouvez-vous citer des applications du th. de picard en analyse fonctionnelle ?

    un exercice :

    Soit K un compact connexe de R^n, U un voisinage ouvert de K, f : U -\textgreater R^n, C^1, tel que pour tout x dans K, la norme subordonnée de df_x est \textlesser 1. Montrer que f admet un point fixe dans K.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    12


Références utilisées dans les versions de cette leçon :