Développement : Théorème d'inversion locale

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^1$ et $a \in \mathbb{R}^n$. Si $Df_a$ est inversible, alors il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $ W = f(V)$ est ouvert et $f_{|V} : V \to W$ est un $C^1$-difféomorphisme.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Lien de la vidéo youtube que j'ai faite sur ce développement :
    https://www.youtube.com/watch?v=HDVpdPHrI7Q&t=400s
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    Théorème incroyable ! Je pense que c'est bien de le faire en développement parce qu'il est d'une importance capitale en calcul différentiel. C'est un peu technique mais une fois qu'on l'a travaillé ça se fait bien.

    Je le prends pour les leçons 214 et 215.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 321.
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

    Dans cette version je regarde au voisinage de zéro et suppose D0f=id
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    Ce développement est difficile, j'ai eu besoin de le refaire de nombreuses fois.
    Comme d'habitude, Gourdon expédie des choses qui ne sont pas triviales, notamment au début quand il dit "quitte à considérer telle fonction immonde, on peut supposer que ...." Il faut savoir justifier cela, c'est ce que j'ai essayé de faire sur le côté gauche de la première page, n'hésitez pas à me contacter si vous n'arrivez pas à tout faire à cause du fait que c'est coupé...
    Gourdon le fait du point de vue général dans un Banach, mais le cadre des leçons se situe en dimension finie donc je recommande de le faire dans ce cadre et de ne pas dire "isomorphisme bicontinu" mais simplement "inversible" (en dimension finie, la continuité des applications linéaires est automatique).
    Il faut aussi savoir appliquer ce théorème, je conseillerais de faire pas mal d'exos plus ou moins subtils dessus.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 18 versions au total)
Calcul différentiel , Cartan (utilisée dans 1 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)