Leçon 215 * : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

(2018) 215

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles, mais aussi de ce qui les distingue. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). La méthode du gradient pour la minimisation de la fonctionnelle $\frac{1}{2} (Ax | x) - (b|x)$ où $A$ est une matrice symétrique définie positive, conduit à des calculs de différentielles qui doivent être acquis par tout candidat. Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.

(2016 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications. ) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.
(2015 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivés partielles. Une bonne maîtrise du théorème de différentiation composée est attendue. L'énoncé doit être connu et compris ; il faut pouvoir l'appliquer dans des situations simples. Signalons aussi que cette application pose souvent problème lorsque l'une des fonctions en jeu est une fonction réelle de variable réelle, comme lorsque que l'on calcule la différentielle de l'application $x \longmapsto ||x||$ pour la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$. La notion de différentielle seconde est attendue au moins pour les fonctions de classe applications classiques quant à l'existence d'extremums locaux.
(2014 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivés partielles. Le théorème de différentiation composée doit être connu et pouvoir être appliqué dans des cas simples comme le calcul de la différentielle de l'application $x \rightarrow ||x||^2$ pour la norme euclidienne sur $R^n$ . La notion de différentielle seconde est attendue au moins pour les fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ ainsi que les applications classiques quant à l'existence d'extrema locaux.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.


2017 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.


2016 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Morse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Questions sur le développement : imprécision dans les notations du lemme présent dans le développement (application du théorème d'inversion locale), précision sur la somme directe (matrices symétriques/antisymétriques)

    -Concernant le théorème sur les extrema locaux (notations de Monge) : connaissez vous un autre théorème qui concerne les extrema. J'ai nommé le théorème des extrema liés (sans pouvoir le citer)

    -Application du théorème des fonctions implicites pour montrer que $AB-I_n$ (avec A matrice inversible) avait comme solution $B=A^{-1}$

    -Si t appartient à l'intervalle $\left]\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right[$ : montrer qu'il existe une unique solution à l'équation cos(tx)+sin(tx)=x. Le jury m'a fait remarqué que l'on peut l'écrire f(x)=x. J'ai pensé au théorème du point fixe, donné les hypothèses. Il fallait faire une majoration sur le signe de la dérivée pour voir que f était strictement contractante.
    Ensuite, montrer que l'on peut écrire t en fonction de x (application du théorème des fonctions implicites)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury peu aidant pour les questions

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Extrema liés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense du plan et la présentation du développement se sont passés sans problème. Ils m'ont posé quelques questions sur le développement et sur les sous-variétés de $\mathbb{R}^n $ (Je présentais les Extrema liés sans mentionné les sous-variétés).Ils m'ont posé quelques questions sur mon plan et se sont plus particulièrement concentrés sur la partie Optimisation. je me souviens de deux questions : "Pourquoi une fonction convexe qui admet un minimum local admet un minimum global", "pourquoi $ x \longmapsto Ax \cdot x $ est convexe lorsque A est une matrice symétrique positive". Ces petites questions venaient principalement d'un des trois membres du jury. Il m'a également demandé un contre-exemple au théorème des extrema liés dans la cas où les gradients ne forment pas une famille libre. Je lui ai fait remarqué que j'en avais mis un dans le plan et il m'a demandé de le traiter. Un des deux autres membres du jury me posait des exercices tels que :
    - A quelle condition sur une matrice M, on peut inverser localement l'application $A \longmapsto A^2$ dans Mn(R) ?
    -Appliquer le théorème des extrema liés sur une fonction qui admet un extremum local sur la sphère euclidienne.
    -Soient f et g deux applications de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs réelles. Il y avait des conditions sur f et g et il fallait montrer que f/g se prolonge en une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympathique et a cherché à me mettre en confiance dès que je suis entré dans la salle.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    18