Développement : Point de Fermat d'un triangle

Détails/Enoncé :

Soient $A,B,C$ trois points non alignés du plan euclidien $\mathbb R^2$. On suppose que les trois angles du triangle ABC sont strictement inférieurs à $\frac{2\pi}{3}$. Soit $f$ la fonction qui au point $M$ associe la somme des distances $f(M) = AM + BM + CM$.
Alors $f$ atteint un minimum sur $\mathbb R^2$ en un point $P$ intérieur au triangle $ABC$. Ce minimum est global strict (donc unique). De plus, les angles $\widehat{APB}, \widehat{BPC}$ et $\widehat{CPA}$ sont égaux à $\frac{2\pi}{3}$.

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    Nous montrons l'égalité entre ces trois angles au moyen du calcul différentiel. Nous prouvons que le minimum est strict en justifiant que $f$ est strictement convexe sur tout ouvert convexe ne contenant pas $A,B$ ni $C$ (sur de tels domaines, $f$ est $C^{\infty}$ donc il est possible de différentier deux fois).
    Attention, Rouvière n'utilise pas cet argument dans sa correction. Il utilise un argument géométrique pour prouver l'unicité (mais alors ça se recase moins...)
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    Un développement de géométrie utilisant des techniques d'analyse. Il est compliqué (vraiment, je trouve), mais je le garde car je pense qu'il est vraiment rentable au niveau appréciation du jury : c'est de la géométrie ! Et aussi, je l'aime bien.

    Je pense qu'il faut vraiment bien le travailler si on le prend pour l'oral. Je compte reprendre la construction du point de Fermat (remarque 4 dans mon document), que je détaillerai peut-être un peu plus prochainement.

    Attention : mes arguments diffèrent plus ou moins des références.

    Recasage impossible en 191 : ce n'est pas de l'algèbre (dommage...).

    Attention aux coquilles.
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