Leçon 219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

(2018) 219

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Comme souvent en analyse, il est tout à fait opportun d’illustrer dans cette leçon un exemple ou un raisonnement à l’aide d’un dessin. Il faut savoir faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L’étude des algorithmes de recherche d’extremums y a toute sa place : méthode du gradient et analyse de sa convergence, méthode à pas optimal,... Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$ où $A$ est une matrice symétrique définie positive, ne devrait pas poser de difficultés (la coercivité de la fonctionnelle pose problème à de nombreux candidats). Les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés et la notion de multiplicateur de Lagrange. À ce sujet, une preuve géométrique des extrema liés sera fortement valorisée par rapport à une preuve algébrique, formelle et souvent mal maîtrisée. Enfin, la question de la résolution de l’équation d’Euler-Lagrange peut donner l’opportunité de mentionner la méthode de Newton. Les candidats pourraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés, ou, dans un autre registre, le principe du maximum et ses applications.

(2016 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications. ) Comme souvent en analyse, il peut être opportun d’illustrer dans cette leçon un exemple ou un raisonnement à l’aide d’un dessin. Il faut savoir faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L’étude des algorithmes de recherche d’extremums y a toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, . . . Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x), où A est une matrice symétrique définie positive, ne devrait pas poser de difficultés. Les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extremums liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore, des algorithmes peuvent être présentés et analysés. À ce sujet, une preuve géométrique des extrema liés sera fortement valorisée par rapport à une preuve algébrique, formelle et souvent mal maîtrisée. Les candidats pourraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés, ou, dans un autre registre, le principe du maximum et ses applications.
(2015 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Il faut bien faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d'un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L'étude des algorithmes de recherche d'extremums y a toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, ... Le cas particulier des fonctionnelles sur $\mathbb{R}^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, devrait être totalement maîtrisé. Les candidats devraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés et les équations normales qui y sont attachées. Enfin, les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extremums liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore, des algorithmes peuvent être présentés et analysés.
(2014 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Cette leçon a changé de titre. Il faut bien faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d'un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L'étude des algorithmes de recherche d'extremas y a maintenant toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, etc. Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, devrait être totalement maîtrisé. Les candidats devraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés et les équations normales qui y sont attachés. Enfin, les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore des algorithmes peuvent être présentés et analysés.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.


2017 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.


2016 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Ellipsoïde de John Loewner

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Plutôt équilibré, il y avait des coquilles dans le plan du coup ils sont revenu dessus.
    Q : comment je montre D'Alembert-Gauss (qui était dans le plan)
    R : par l'absurde, le polynome atteint un min non nul et DL en ce min

    Q : Extrema de "somme des i*x_i" sur la sphère.
    R : Extrema liés, bla bla ...(en fait il y en a pas besoin, la fonction est une forme linéaire qu'on peut donc voir comme un produit scalaire et c'est torché mais dans le cadre de la leçon c'était ce qu'ils attendaient)

    Q : f holomorphe sur C ne s'annulant pas sur le disque unité fermé et qui stabilise le cercle unité, que peut on en dire ?
    R : Elle est constante en appliquant le principe du max à f et 1/f sur le disque unité (petite subtilité ici pour 1/f puisque il faut être défini sur un voisinage du disque fermé)

    Q : Connaissez-vous des problèmes d'extrema sur des espaces de fonction ?
    R : Lax-Milgram (dans le plan) et application a une fonctionnelle obtenue à partir d'un opérateur différentiel, le min est alors solution

    Q : Un truc plus élémentaire ?
    R : Des problèmes en rapport avec les courbes

    Q : Par exemple, le plus simple ?
    R : Le plus court chemin reliant 2 pts

    Q : Comment vous faite ?
    R : On prend A et B ...[début de formalisme coupé par ce que l'oral allait se terminer, du coup heuristique]... je parle d'intégrer le produit scalaire de la dérivée du chemin et d'un vecteur unitaire colinéaire à AB, le boss accepte.

    (je n'avais pas parlé de ce genre de problèmes dans le plan, je pense du coup que c'est attendu ou au moins le mentionner dans la défense)

    Là les deux autres couillons me demandent de refaire l'exo d'holomorphie parce qu'ils ne sont toujours pas convaincu (alors qu'ils m'ont fortement incité à considérer 1/f donc a priori ils ont la même solution que moi)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Questions faciles. En ce qui concerne le jury : un sympa, un raleur (les coquilles l'ont énervé), un neutre (en mode big boss qui posait de vrais questions)

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Surpris par le type qui a demandé a ses collègues "je suis pas entrain de me faire arnaqué là ?" après avoir entendu ma réponse à son exo (tjrs l'holomorphie). J'en conclut qu'il ne faut pas se mettre trop de pression sur notre niveau, mais simplement ne pas faire d'erreurs bêtes -_-' (On le savait déjà, certes)

  • Note obtenue :

    13.75