Calcul différentiel

Avez

Utilisée dans les 4 développements suivants :

Extrema liés
Espace tangent et extrema liés
Théorème des extrema liés (par les sous-variétés)
Réciproque de la formule de Taylor

Utilisée dans les 5 leçons suivantes :

219 (2024) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
267 (2023) Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
214 (2024) Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
215 (2024) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
239 (2024) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Utilisée dans les 10 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement (et surtout la théorie derrière) est difficile et demande un gros investissement. Cela vaut le coup si on veut faire la leçon 214 correctement, et si on veut présenter ce développement en tenant compte de la remarque du jury qui n'aime pas trop la version matricielle de la démonstration.
    Il faut connaître la définition d'une sous-variété, les différentes caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe) et la notion d'espace tangent (voir ma remarque sur la leçon 214)

    Le gros problème de ce développement est que la référence indiquée est vieille et traite cette démonstration de façon fractionnée et expéditive... Je recommande donc de beaucoup le travailler de manière à le connaître par cœur.

    En fait, dans ce développement, on démontre plus que le théorème des extrema liés (au delà du lemme d'algèbre linéaire) : on montre en effet le fait que l'espace tangent en un point à une sous-variété est un espace vectoriel de dimension la dimension de la sous-variété, et on montre que c'est même le noyau de la différentielle de la submersion en le point en question.

    A la fin de l'année, j'avais tellement refait ce développement que je faisais tout tenir en 15 minutes, mais vous trouverez des conseils en bas de la page 2 pour le tronquer selon la leçon.

    Bon courage et n'hésitez pas à me contacter si vous avez des questions.
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  • Développement :
  • Remarque :
    Il est vrai que le développement paraît un peu technique aux premiers abords, mais quand on s'y plonge il n'est pas si compliqué. Je pense qu'il est pas mal pour faire un développement un peu exotique dans la leçon sur les formules de Taylor. Il ne faut pas aller trop vite pour ne pas perdre l'auditoire, les notations sont un peu lourdes. Cf remarques à la fin du document pour quelques précisions.
    Je mets le Avez en référence, mais le Avez fait la version $\mathbb{R}^n$ du théorème, ce qui le rend vraiment imbuvable pour le commun des mortels... Ceci dit, les idées y sont exactement les mêmes.

    Côté recasage à mon avis:
    Formules de Taylor
    Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Utilisée dans les 11 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
    Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins "futée" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
    Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
    Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
    Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).
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