Développement : Extrema liés

Détails/Enoncé :

Soit $f,g_1,...,g_p:U\rightarrow\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ ($U\subset\mathbb{R}^n$ ouvert). Posons
\[X=\{\omega\in U : g_1(\omega)=...=g_p(\omega)=0\}.\]
Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $a\in X$ et si la famille $(D_ag_i)_{1\leq i\leq p}$ est linéairement indépendante, alors il existe $(\lambda_1,...,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p$ tels que
\[D_af=\sum_{i=1}^p\lambda_iD_ag_i\]
Les $(\lambda_i)_{1\leq i\leq p}$ sont appelés les multiplicateurs de Lagrange.

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine

    Preuve par l'espace tangent. Attention, le jury annonce dans plusieurs de ses rapports qu'ils préfèrent voir cette preuve, qui est plus visuelle que celle où on calcule des matrices sans visualiser.
  • Fichier :