Développement : Extrema liés

Détails/Enoncé :

Soit $f,g_1,...,g_p:U\rightarrow\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ ($U\subset\mathbb{R}^n$ ouvert). Posons
\[X=\{\omega\in U : g_1(\omega)=...=g_p(\omega)=0\}.\]
Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $a\in X$ et si la famille $(D_ag_i)_{1\leq i\leq p}$ est linéairement indépendante, alors il existe $(\lambda_1,...,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p$ tels que
\[D_af=\sum_{i=1}^p\lambda_iD_ag_i\]
Les $(\lambda_i)_{1\leq i\leq p}$ sont appelés les multiplicateurs de Lagrange.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine

    Preuve par l'espace tangent. Attention, le jury annonce dans plusieurs de ses rapports qu'ils préfèrent voir cette preuve, qui est plus visuelle que celle où on calcule des matrices sans visualiser.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Je n'ai pas pris beaucoup de temps pour travailler ce développement étant donné que je le plaçais dans des leçons que je n'aimais pas. C'est donc un plus ou moins un copier coller du Gourdon.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul différentiel, Avez (utilisée dans 18 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 301 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 165 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 251 versions au total)
Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 15 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 24 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 461 versions au total)
Calcul différentiel - une approche progressive et pratique enrichie de 215 exercices corrigés, El Amrani (utilisée dans 1 versions au total)