Développement : Extrema liés

Détails/Enoncé :

Soit $f,g_1,...,g_p:U\rightarrow\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ ($U\subset\mathbb{R}^n$ ouvert). Posons
\[X=\{\omega\in U : g_1(\omega)=...=g_p(\omega)=0\}.\]
Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $a\in X$ et si la famille $(D_ag_i)_{1\leq i\leq p}$ est linéairement indépendante, alors il existe $(\lambda_1,...,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p$ tels que
\[D_af=\sum_{i=1}^p\lambda_iD_ag_i\]
Les $(\lambda_i)_{1\leq i\leq p}$ sont appelés les multiplicateurs de Lagrange.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine

    Preuve par l'espace tangent. Attention, le jury annonce dans plusieurs de ses rapports qu'ils préfèrent voir cette preuve, qui est plus visuelle que celle où on calcule des matrices sans visualiser.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul différentiel, Avez (utilisée dans 17 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 237 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 135 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 214 versions au total)
Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 15 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 20 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 400 versions au total)