Développement : Extrema liés

Détails/Enoncé :

Soit $f,g_1,...,g_p:U\rightarrow\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ ($U\subset\mathbb{R}^n$ ouvert). Posons
\[X=\{\omega\in U : g_1(\omega)=...=g_p(\omega)=0\}.\]
Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $a\in X$ et si la famille $(D_ag_i)_{1\leq i\leq p}$ est linéairement indépendante, alors il existe $(\lambda_1,...,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p$ tels que
\[D_af=\sum_{i=1}^p\lambda_iD_ag_i\]
Les $(\lambda_i)_{1\leq i\leq p}$ sont appelés les multiplicateurs de Lagrange.

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