Développement : Extrema liés

Détails/Enoncé :

Soit $f,g_1,...,g_p:U\rightarrow\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ ($U\subset\mathbb{R}^n$ ouvert). Posons
\[X=\{\omega\in U : g_1(\omega)=...=g_p(\omega)=0\}.\]
Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $a\in X$ et si la famille $(D_ag_i)_{1\leq i\leq p}$ est linéairement indépendante, alors il existe $(\lambda_1,...,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p$ tels que
\[D_af=\sum_{i=1}^p\lambda_iD_ag_i\]
Les $(\lambda_i)_{1\leq i\leq p}$ sont appelés les multiplicateurs de Lagrange.

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine

    Preuve par l'espace tangent. Attention, le jury annonce dans plusieurs de ses rapports qu'ils préfèrent voir cette preuve, qui est plus visuelle que celle où on calcule des matrices sans visualiser.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Je n'ai pas pris beaucoup de temps pour travailler ce développement étant donné que je le plaçais dans des leçons que je n'aimais pas. C'est donc un plus ou moins un copier coller du Gourdon.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Fameux développement c'est vrai, malgré tout très difficile à cause des connaissances théoriques nécessaires. En effet, je pense que si l'on choisit ce développement, il faut pleinement assumer de parler de sous-variétés et ne pas faire l'autruche. Si l'on prépare ce développement suffisamment tôt, c'est malgré tout très gérable. Le fameux "théorème des sous-variétés" qui donne l'équivalence entre plusieurs définitions de sous variété est un théorème important. Mon avis est que mieux vous maitriserez ce théorème, plus vous vous sentirez à l'aise pour parler de sous-variétés.

    Dans cette version du développement, j'ai fait le choix de démontrer une implication de ce théorème, qui est l'ingrédient miracle pour cette preuve. En plus, il justifie beaucoup mieux le recasage dans le leçon sur le théorème d'inversion locale puisque c'est à ce moment qu'il apparaît.
    La preuve que je donne ici est le fruit d'un regroupement de plusieurs références, livres et pdf trouvés sur le net, c'est pourquoi je ne donne pas de référence ici. J'espère ne pas avoir fait d'erreurs, sinon, signalez le moi par mail.
    Une fois qu'il est bien compris, c'est un développement de très haute qualité.

    Côté recasage:
    Fonctions différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$.
    Théorème d'inversion locale et des fonctions implicites.
    Problèmes d'extrema.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    À ma connaissance, cette preuve n'est pas référencée dans un livre. Elle provient du cours de Stéphane Rigat, dispensé en master de préparation à l’agrégation de mathématiques, à l’université d’Aix-Marseille.
    Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, et qui se présente dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème des extrema liés figure sur le programme du concours.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Je n'ai pas utilisé ce développement, mais je l'ai quand même rédigé au propre. Attention, le jury n'aime pas trop cette version, paraît-il.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici une preuve des extrema liés adaptée du Troutman Variational calculus with elementary convexity (p 126-131), qui le démontre avec des hypothèses plus faibles.
    On utilise des techniques d’algèbre linéaire, et dans la preuve, c’est s’autoriser à se déplacer selon $k+1$ directions (peu importe l’espace ambiant) qui permet de conclure, ce qui justifie le recasage en 206.

    La preuve est assez courte, il y a donc le temps un exemple rapide et bien senti, ou pour donner l’intuition de la preuve et de $F$, ou comment obtenir les conditions de minimum sur un ouvert, sur un ensemble avec des directions admissibles puis les extrema liés (comme fait dans le Troutman).

    Dans la 159, on peut aussi faire le lemme technique sur la surjectivité de $\Phi$ (voir Gourdon) et conclure en montrant que $\bigcap \ker (dg_i(a))\subseteq \ker (df(a))$.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul différentiel, Avez (utilisée dans 23 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 390 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 304 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 334 versions au total)
Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 19 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 43 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 775 versions au total)
Calcul différentiel - une approche progressive et pratique enrichie de 215 exercices corrigés, El Amrani (utilisée dans 8 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation externe. Analyse., Jean-Étienne Rombaldi (utilisée dans 22 versions au total)