Leçon 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

(2018) 159

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon ; celle-ci permet de mettre en évidence des correspondances entre un morphisme et son morphisme transposé, entre un sous-espace et son orthogonal (canonique), entre les noyaux et les images ou entre les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d’algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir calculer la dimension d’une intersection d’hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L’utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d’obtenir les équations d’un sous-espace vectoriel ou d’exhiber une base d’une intersection d’hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique ou analytique. Il faut que les développements proposés soient en lien direct avec la leçon. Enfin rappeler que la différentielle d’une fonction à valeurs réelles est une forme linéaire semble incontournable. Il est possible d’illustrer la leçon avec un point de vue probabiliste, en rappelant que la loi d’un vecteur aléatoire X est déterminée par les lois unidimensionnelles de $X \cdot u$ pour tout vecteur $u$.

(2016 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon ; celle-ci permet de mettre en évidence des correspondances entre un morphisme et son morphisme transposé, entre un sous-espace et son orthogonal (canonique), entre les noyaux et les images ou entre les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d’algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir calculer la dimension d’une intersection d’hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L’utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d’obtenir les équations d’un sous-espace vectoriel ou d’exhiber une base d’une intersection d’hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique ou analytique. Il faut que les développements proposés soient en lien direct avec la leçon. Enfin rappeler que la différentielle d’une fonction à valeurs réelles est une forme linéaire semble incontournable.
(2015 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon : celle-ci permet de créer une correspondance féconde entre un morphisme et son morphisme transposé, un sous-espace et son orthogonal (canonique), les noyaux et les images, les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d'algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir calculer la dimension d'une intersection d'hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L'utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d'obtenir les équations d'un sous-espace vectoriel ou d'exhiber une base d'une intersection d'hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique, analytique, etc. Il faut que les développements proposés soient en lien direct, comme toujours, avec la leçon ; proposer la trigonalisation simultanée est un peu osé ! Enfin rappeler que la différentielle d'une fonction réelle est une forme linéaire semble incontournable.
(2014 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon : celle-ci permet de créer une correspondance féconde entre un morphisme et son morphisme transposé, un sous-espace et son orthogonal (canonique), les noyaux et les images, les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d'algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir calculer la dimension d'une intersection d'hyperplans est important dans cette leçon. L'utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d'obtenir les équations d'un sous-espace vectoriel ou d'exhiber une base d'une intersection d'hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algèbrique, topologique, analytique, etc. Il faut que les développements proposés soient en lien direct, comme toujours, avec la leçon ; proposer la trigonalisation simultanée est un peu osé ! Enfin rappeler que la différentielle d'une fonction réelle est une forme linéaire semble incontournable.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.


2017 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.


2016 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.


2015 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2016 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    109 : Représentations de groupes finis de petit cardinal.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le plan, ils m'ont fait corrigé une bébé erreur. Et sur mes annexes (pivot de Gauss pour obtenir des équations de sev)
    Detailler un point de mon développement.
    Exos :
    - Prouver la formule de changement de base dans la base duale
    - Montrer que tout endomorphisme d'un C-ev de dimension finie admet un hyperplan stable (bizarre qu'ils m'aient demandé celui là vu mon plan qui mettait en avant pas mal d'application de la transposition déjà)
    - l'exo classique sur les intersections d'hyperplan (que j'ai oublié de rajouter dans mon plan..)
    - montrer à la main (sans les bases antéduales), que deux formes linéaires définissent le même hyperplan ssi elles sont proportionnelles avec un coeff non nul

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le plus neutre du monde possible.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je voulais les titiller avec Hahn Banach (j'avais révisé la preuve) mais ils en ont pas parlé.
    Bon oral cependant je pense !

  • Note obtenue :

    16.25