Développement : Générateurs de O(E)

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in O(E)$. On note $r = \mathsf{rg}(u- \mathsf{id}_E)$. Alors $u$ est produit de $r$ réflexions mais pas moins. Si $u \in SO(E)$, $u$ est produit d'au plus $r$ retournements (avec $\mathsf{dim}(E) \ge 3$).

Recasages pour l'année 2024 :

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    D'après moi pour les leçons : 106, 108, 160 et 161.

    Attention démontrer les générateurs de O(E) et de SO(E) est assez long. Pour être passé dessus en développement blanc : ne pas oublier le cas où u = id.
    Le dessin (à faire au fur et à mesure) rend d'après moi la démonstration limpide.
    Sans celui-ci, elle est indigeste.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Recasages : 154,160,161,206

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/4b8bfe4d-96e7-44d1-baed-c29b85a0356d/Generateurs_de_O(E).pdf?id=e9c28d2b-9f7b-4bc5-8558-0c93d398b3c7&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=6oTQDW2H_Ff-NRcj0c8W6kfJYcGfPKeHHucw9zX8WA4&downloadName=Générateurs+de+O%28E%29.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 72 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 393 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 101 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 133 versions au total)