Développement : Générateurs de O(E)

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in O(E)$. On note $r = \mathsf{rg}(u- \mathsf{id}_E)$. Alors $u$ est produit de $r$ réflexions mais pas moins. Si $u \in SO(E)$, $u$ est produit d'au plus $r$ retournements (avec $\mathsf{dim}(E) \ge 3$).

Recasages pour l'année 2025 :

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    D'après moi pour les leçons : 106, 108, 160 et 161.

    Attention démontrer les générateurs de O(E) et de SO(E) est assez long. Pour être passé dessus en développement blanc : ne pas oublier le cas où u = id.
    Le dessin (à faire au fur et à mesure) rend d'après moi la démonstration limpide.
    Sans celui-ci, elle est indigeste.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Recasages : 154,160,161,206

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/4b8bfe4d-96e7-44d1-baed-c29b85a0356d/Generateurs_de_O(E).pdf?id=e9c28d2b-9f7b-4bc5-8558-0c93d398b3c7&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=6oTQDW2H_Ff-NRcj0c8W6kfJYcGfPKeHHucw9zX8WA4&downloadName=Générateurs+de+O%28E%29.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Je pense qu’il vaut mieux présenter un seul des deux lemmes en fonction de la leçon présentée. Si vous présentez la leçon 148, choisissez plutôt le lemme 2. Sinon, choisissez plutôt le lemme 1. Vous pouvez aussi ne prouver que le théorème, si vous préférez avoir plus de temps pour le présenter. Par ailleurs, ce développement est assez facile et se recase dans de nombreuses leçons. Je le recommande. De plus, ce dernier possède l’immense avantage de mêler algèbre et géométrie, et vous offre l’opportunité de dessiner, ce qui sera apprécié par le jury.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 78 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 510 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 145 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 179 versions au total)