Leçon 108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

(2016) 108
(2018) 108

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.) C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés qui peuvent être en relation avec les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes ; les groupes $Z/nZ$, fournissent aussi des exemples intéressants. La connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes. Tout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.

(2016 : 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.) C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés en relation avec les groupes de permutations et les groupes linéaires ou de leurs sous-groupes. La connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes. Tout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.
(2015 : 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.) C'est une leçon qui demande un minimum de culture mathématique. Peu de candidats voient l'utilité des parties génératrices dans l'analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes. Tout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.
(2014 : 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.) C'est une leçon qui demande un minimum de culture mathématique. Peu de candidats voient l'utilité des parties génératrices dans l'analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.

Développements :

Plans/remarques :

2017 : Leçon 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.


2016 : Leçon 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.


2015 : Leçon 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai proposé 3 développements, Sylow+ majoration du cardinal d'une partie génératrice minimale, Prolongement des caractères+classification des groupes abéliens finis et Frobénius Zolotarev+calcul de (2/p) (FZ se démontre à partir du fait que GL(E) est engendré par les dilatations)

    Ils ont choisi le théorème de classification des groupes.
    Ils m'ont demandé pourquoi le prolongement proposé était bien défini, j'ai donné tous les éléments mais je n'ai pas su recoller les morceaux et au bout de 5 minutes ils m'ont dit regardez c'est parce que vous n'avez pas utiliser les 2 côtés de l'égalité.

    A un moment j'ai dit qu'on pouvait prendre n'importe quel caractère non trivial du groupe engendré qui réalise le ppcm des ordres alors qu'il fallait choisir un morphisme injectif, ils m'ont donc demandé de construire un caractère injectif d'un groupe cyclique.

    Ils m'ont demandé de redémontrer le théorème du produit direct dans le cadre des groupes abéliens parce que je m'en suis servi dans ma démonstration. J'ai répondu de manière concise en me servant de quelques éléments que j'avais écris au tableau.

    Ils m'ont demandé si c'était difficile de démontrer le fait qu'il existait un élément dont l'ordre est égal au ppcm des ordres. J'ai répondu que non, la clef était le fait que si les ordres de a et b sont premiers entre eux alors l'ordre de ab est le produit des ordres mais que ça ne marchait pas si le groupe n'était pas abélien.

    Ils m'ont demandé de donner la classification des groupes abéliens de type fini sans démonstration. Par chance je connaissais la réponse et j'avais oublié de le mettre dans mon plan; j'ai parlé rapidement des groupes abéliens libre de type fini et que donc avec le théorème que l'on avait montré, en concaténant les 2 résultats on obtenait la classification voulue.

    Ils m'ont demandé si le lemme sur le ppcm des ordres était vrai sur les groupes non abéliens (visiblement le juré ne m'avait pas écouté). J'ai répondu que pour S3 ça ne marchait pas, il n'a pas d'élément d'ordre 6.

    Ils m'ont demandé de démontrer pourquoi il n'y avait que la signature comme morphisme non trivial de Sn dans C*. J'ai dit tout ce qu'il fallait sauf le fait que les transpositions sont conjuguées et ont donc toute la même valeur, un juré me l'a demandé, j'ai corrigé en disant que les transpositions sont conjuguées et C* est commutatif.

    Ils m'ont demandé de montrer que Q n'était pas un groupe libre de type fini. J'ai dit que si l'on avait un groupe abélien de type fini alors il y avait une distance entre ce groupe intersecté avec R+* et 0.
    Ca ne les a pas trop satisfait, quand bien même la réponse était juste, ils m'ont fait démontrer que le groupe <1/2,1/3,1/7> était isomorphe à Z (sans passer par la classification des sous groupes de R). Je n'ai aucune idée de comment ils voulaient que je conclus. Ils ont finalement dit que la distance avec 0 leur suffisait.

    Dans mon plan il y avait la connexité de Gln(C)/Gln+(R)/Sln(C ou R), ils m'ont demandé de démontrer la connexité de Gln+(R). J'ai donc montré que les transvections et les dilatations étaient reliées à l'identité puis pour n'importe quelle matrice on écrit que c'est un produit de transvections et 1 dilatation et l'on fait le produit des chemins.

    Ils m'ont demandé de donner un système de générateur de On(R), j'ai dit que les réflexions engendraient On(R). Le juré qui dirigeait l'oral m'a dit qu'il avait des lacunes sur ce qu'était une réflexion et m'a donc demandé ce que c'était. Je n'ai pas su répondre :/
    Ils m'ont donc demandé ce qu'il y avait dans On(R). J'ai répondu qu'il y avait les rotations. Ils m'ont demandé de montrer que ça ne pouvait pas engendrer On(R). J'ai dit "alors si je ne dis pas de bêtises les rotations commutent", un juré avait une tête de pas content j'ai donc dit "bon apparemment j'ai dit une bêtise" et les jurés ont souri. Je ne sais pas comment mais dans ma tête ça a fait tilt, j'ai dit que les rotations avaient toutes un déterminant positif et donc elles ne peuvent pas engendrer On(R). J'ai dit que peut-être On(R)= et ils m'ont demandé quel était le déterminant de -l'identité. J'ai donc directement proposé de regarder la matrice diag(-1,1,1,1,...,1) et là ils m'ont dit que l'ensemble de ces endomorphismes engendraient On(R). Un juré a dit à l'autre juré que c'était ça une réflexion.

    J'avais proposé un exercice qui était "Montrer ,sans utiliser de produit semi direct, que tout groupe non commutatif d'ordre 2p avec p premier impair était isomorphe au groupe diédral D2p". Ils m'ont donc demandé de le démontrer, j'y suis presque arrivé et ils m'ont dit bon on voit que ça va marcher mais on n'a plus de temps.
    (C'est un exercice tiré du Cortella)


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très gentil.

    Mais je pensais quand même avoir une meilleure note...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ils n'ont pas choisi mon développement original :/

  • Note obtenue :

    14


Références utilisées dans les versions de cette leçon :