Développement : Le groupe SO3(R) est simple

Détails/Enoncé :

C'est peut être simple à énoncer mais c'est pas simple.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Dans un premier temps j'ai écris la preuve du développement tel que je le présenterais à l'oral. Puis j'ai ajouté des compléments de preuves pour détailler tous les points qui me semble important de savoir redémontrer.
    Pour les preuves complémentaires j'ai utilisé : le Rombaldi et le CVA principalement
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    Un de mes développements préférés. Ce résultat est vraiment beau. L'utilisation de l'analyse y est incontournable (même dans la preuve quasiment qu'algébrique du Perrin). On peut accompagner ce développement d'une petite partie sur les groupes topologiques.

    Note aussi que le développement se met très bien dans la 103 (bah ouais, c'est de la simplicité quand même !).

    Attention aux coquilles !
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    Je suis passé sur ce développement le jour de mon oral d'algèbre : vous pouvez aller voir mon retour si cela vous intéresse (2023, couplage 106/121). Dans ce dernier, je dis qu'il y avait un argument pas convaincant dans mon développement : cet argument a été corrigé dans la version que je poste ici. Attention, le développement (dans ma version) est long !

    Selon moi : leçons 103, 106, 108, 160, 161, 204 (le développement doit être adapté en fonction de la leçon). On pourrait éventuellement présenter le développement dans la leçon 267 (courbes), mais je pense qu'il y a mieux.

    N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
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    Le recasage est le suivant :
    ***** 103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de
    groupes quotients. Applications.
    ***** 108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
    **** 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de
    GL(E). Applications.
    *** 158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension
    finie).
    *** 161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
    *** 204 : Connexité. Exemples d’applications.
    *** 191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

    Le document peut paraître long, mais me semble très détaillé. Il comporte le développement (tiré de Caldero), et une annexe (essentiellement du Perrin) de résultats nécessaires à la bonne conclusion du développement. C'est essentiellement du Perrin.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 74 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 440 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 114 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 39 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)